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| Autor |
 Primzahlzwillingsvermutung |
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PeterOtto70
Junior 
Dabei seit: 29.04.2014
Mitteilungen: 7
 |  Themenstart: 2021-01-18
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Guten Morgen zusammen,
ich habe mich mit der Primzahlzwillingsvermutung beschäftigt und bin der Meinung einen Beweis dazu gefunden zu haben oder zumindest einen guten Ansatz. Mag sich den mal jemand anschauen und mir eine Rückmeldung geben? Sollte ich die Prinzipien dieses Forums jetzt verletzt haben, da ich keine Frage im eigentlichen Sinn stelle, dann entschuldige ich mich vorab. Allerdings werde ich nicht schlau daraus, wie man Artikel, die schon im PDF vorliegen hier veröffentlichen kann. Deshalb meien Wahl über einen externen Link:
hier
Vielen Dank vorab und viele Grüße
Peter
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 Profil
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pzktupel
Aktiv 
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 2018
Wohnort: Thüringen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-18
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Unter dem eigenen Profil, eigenes Notizbuch , kann man Dokumente hochladen und für jedermann veröffentlichen lassen.
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Profil
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DerEinfaeltige
Senior 
Dabei seit: 11.02.2015
Mitteilungen: 2969
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-18
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Du beschäftigst dich bereits auf den ersten beiden Seiten ausführlich damit, dass $(\pm 1)^2 = 1$ und $(\pm 1) \cdot (\mp 1) = -1$ gilt.
Weiterhin fällt auf, dass du Begriffe unorthodox einsetzt.
Bspw. sprichst du von "Reihen", obwohl anscheinend Folgen gemeint sind.
Solche Dinge machen ein Dokument schwer lesbar und verschleiern den Blick auf relevante Aussagen.
Sie verleiten auch zu dem vorschnellen Urteil, es sei die Mühe des Lesens nicht wert, wenn bereits die Form derartige Schwächen aufweist.
Schreibe doch besser eine kurze Beweisskizze, in der du die ganzen irrelevanten Zwischenrechnungen, Tabellen etc. weglässt und dich nur auf die eigentlichen Beweisschritte beschränkst.
Falls diese keine offensichtlichen Fehlschlüsse enthält, könnte man sich immernoch auf die Details konzentrieren.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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PeterOtto70
Junior 
Dabei seit: 29.04.2014
Mitteilungen: 7
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Hallo pzkTubel und der Einfältige,
@ pzkTubel: danke für den Tipp, wie man eigene Skripte hier jeden zugänglich machen kann ... aber es scheint ja auch so zu klappen und beim nächsten Mal weiss ich es
@ der Einfältige: danke für deine Hinweise, aber das ist in der Tat mein Problem, dass ich evtl. vorhandene Begriffe nicht kenne. Wobei ich hier zugeben muss. dass Folgen u. U. der bessere Begriff ist.
Aber wenn ich deinen Hinweis mit der Beweisskizze aufgreifen darf, dann definiert man zuerst die Menge aller Nichtprimzahlen der Form (6*h+/-1) als Produkte ihrer selbst. Die Komplementärmenge wären dann die Primzahlen.
Löst man nach h auf findet man vier Terme der Form (6*i +/- 1)*j +/- i, wie sich ein h darstellen lässt bzw. wenn es sich nicht durch eine dieser 4 Terme darstellen lässt, dann kann man sicher sein, dass man einen Primzahlzwilling bei 6*h-1 und 6*h+1 vorliegen hat.
In einem nächsten Schritt analysiert man diese 4 Terme und stellt fest, dass nur solche relevant sind für die (6*i +/- 1) prim
ist. Geht man von einer idealen BEtrachtungsweise aus, dann lässt sich eine Funktion aufstellen mit der man die Anzahl der Ergebnisse der Terme (6*i +/- 1)*j +/- i in Abhängigkeit der vorhandenen Primzahlen bis zu einer Zahl z erfassen kann. Wohlwissend, dass dass nur eine ideale Betrachtungsweise ist, wird das nur als Referenz betrachtet. Bei dieser idealen betrachtungsweise lässt sich zeigen, dass die Anzahl der Primzahlzwillinge unendlich sein muss. Mit einer zweiten Funktion wird gezeigt, wie groß die absolute Abweichung der Anzahl an Ergebnissen zur idealen Betrachtungsweise sein kann und gezeigt, dass die Differenz zwischen idealer BEtrachtungsweise und abs. Abweichung positiv und wachsend ist.
Ich glaube, dass eine Beweisskizze, die einen flasht tatsächlich schwierig zu erstellen ist.
Letztendlich basiert das auf einen Konzept, wie man es auch bei den natürlichen Zahlen wiederfindet, mit allerdings signifikanten unterschieden.
Ich führe da heute abend aber nochmals genauer aus.
bis bald
Peter
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| Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 2018
Wohnort: Thüringen
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-08-04
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Mir ist auch nochmal ein anderer Ansatz für Zwillinge eingefallen und ein Denkfehler? im klassischen Primzahlbeweis.
Idee:
Wir bilden fortlaufend bis zu einer Primzahlobergrenze p ein p# (p#-primorial) und dividieren dann durch 3.
Wir betrachten dann p#/3+1 und p#/3+3. Beide Zahlen haben keine Teiler bis p (mit Ausnahme der 3 für nicht alle p#/3+1) und haben den Abstand 2 (für Zwillinge bindend).
Im klassischen Primzahlbeweis wird zwar argumentiert, dass p#+1 keine Teiler bis p haben kann und entweder ist p#+1 Primzahl oder hat Teiler t>p.
Ist das wirklich so ? Kann man sagen, dass man definitiv immer mal ein p#+1=Primzahl findet ? Könnte ja sein, dass alle Zahlen irgendwann immer einen Teiler zwischen p und p#^0.5 haben....
Wenn das aber vorkommen kann, dann kann nach der Logik für p#/3+1 und p#/3+3 ein Primzahl-Zwillingspärchen auftauchen. Wenn nicht, müsste es heißen, dass eine von beiden Zahlen immer einen Teiler besitzt. Ferner müsste der Teiler sich aus der Eigenschaft gewinnen lassen, was es offenbar nicht tut, da selbst kleine Fallbeispiele Zwillinge erzeugen. Ein p#/3+1 besitzt zwar ausnahmsweise den Teiler 3, aber eben nicht immer. Für p#/3+3 sind keine Teiler unterhalb von p vorhanden.
Bsp.
5#/3+d,d=1,3 : 11,13 Zwilling
7#/3+d,d=1,3 : 71,73 Zwilling
29#/3+d,d=1,3 : 2156564411, 2156564413 Zwilling
Fazit: Lassen wir den klassischen Beweis für Primzahlen gelten, dann kann für Zwillinge (sofern für p#/3+1 der Teiler 3 nicht zutrifft) gesagt werden, das beide Zahlen Primzahlen sein könnten, oder Teiler >p besitzen.
Die Bsp. sind zwar wenig, aber ins unendliche gesehen, nicht endlich in der Anzahl.
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Slash
Aktiv
Dabei seit: 23.03.2005
Mitteilungen: 8526
Wohnort: Sahlenburg (Cuxhaven)
 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-04
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\quoteon(2021-01-18 10:49 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 2)
Schreibe doch besser eine kurze Beweisskizze, in der du die ganzen irrelevanten Zwischenrechnungen, Tabellen etc. weglässt und dich nur auf die eigentlichen Beweisschritte beschränkst.
\quoteoff
Das ist eine gute Idee! Eventuell lässt deine Beweisskizze auch ein Beispiel für die Existenz eines kleinen PZ Paares zu, wie (101, 103). Dann lassen sich alle Argumentationsschritte bis ins Detail prüfen, also mit allen Primfaktoren.
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lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11267
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-04
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Hallo
"dass man definitiv immer mal ein p!+1=Primzahl findet ?" sogar viele, fang mit 5#+1 an mach mit 7#+1 weiter, ebenso 11#+1
2. natürlich ist p#immer durch 3 tb, da das Produkt ja 3 enthält!
Abänderung des Primzahlbeweises: wenn du irgendwann eine Auswahl von Primzahlen multiplizierst +1 findest du immer ein neue Primzahl entweder das Produkt+1 selbst. oder einen Teiler-
Beispiel 2*5*7+1=71 prim 2*7*11+1=155 du findest 5 und 31
dass du auf irgendeine Art mehrere Zwillinge findest, heisst jan nicht dass es unendlich viele gibt, du hast ja selbst schnell gesehen, dass die Beispiele seltener werden, und dass man das bis unendlich weiter machen kann heisst ja nicht, dass man immer neue findet. Denn einige mit sehr hoher Stellenzahl kennt man ja schon, sieh die im Netz nach und versuch sie mit deiner Methode zu finden.
bis dann, lula
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pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 2018
Wohnort: Thüringen
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-08-04
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Anmerkung: Fakultät durch # ersetzt.
Lula, ich führte nur an, der klassische Beweis schlußfolgert, das für p#+1 entweder größere Teiler als p oder p#+1 selbst prim íst.
Die 2. Bemerkung wird einfach so gesagt.
Mir geht es darum, dass man die 2. Bemerkung auch für (p#/3)+1 und (p#/3)+3
anwenden könnte und man hätte zumindest dafür eine Aussage, "ja, die beiden könnten prim sein oder haben Teiler >p (außer eben die feste 3,sofern zutreffend )
Das (p#/3)+1 und (p#/3)+3 sehr dünn ausfallen ist klar, aber eine unendliche Anzahl stünde nichts im Wege.
Von Mersenneprimzahlen könnte man dasselbe vermuten, obwohl es nur rund 50 Exponenten p unterhalb von 100'000'000 gibt, sodas 2^p-1 prim ist
>2. natürlich ist p#immer durch 3 tb, da das Produkt ja 3 enthält!
Darum gehts doch garnicht, mit dem Teiler 3 wird eine Struktur erzeugt, sodas p#/3 +1 , +3 prim sein können und damit Zwillinge bilden. 🙄
Die 3 bezieht sich auf Teiler von (p#/3)+1
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xiao_shi_tou_
Senior 
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1259
Wohnort: Augsburg
 | Beitrag No.8, eingetragen 2021-08-04
|
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\)
Man kann deinen Ansatz einmal so sehen:
$\bullet$ Es ist wohlbekannt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, von denen jeweils unendlich viele in der Folge $(6,1):=(6k+1)_{k\in \mathbb{N}}$ und unendlich viele in der Folge $(6,-1):=(6k-1)_{k\in \mathbb{N}}$ liegen.
Die schwierige Frage ist jetzt:
Wie verteilen sich die Primzahlen auf die beiden Folgen?
Du willst ja zeigen, dass die Primzahlen sich so verteilen, dass an unendlich vielen Stellen (Indizes) beide Folgenglieder gleichzeitig prim sind.
Man kann das ganze auch anders formulieren, zum Beispiel könnte man auch versuchen zu zeigen, dass die obige Aussage auf $(4,1)$ und $(4,3)$ oder (mathematisches oder) $(4,1)$ und $(4,-1)$ zutrifft. Dann hätte man auch die Unendlichkeit der Primzahlen-Zwillinge gezeigt.
Klar ist es plausibel (in Wahrscheinlichkeiten gedacht), dass sich die Primzahlen nicht "absichtlich" so verteilen, dass obige Aussage nicht zutrifft - gerade weil sie extrem zufällig verteilt sind - doch besteht m.E.n. wenig Hoffnung das irgendwie zu beweisen, solange man nicht versteht wie sich die Primzahlen in $\mathbb{N}$ verteilen, und das weiß glaube ich derzeit kein Mensch genau.
Ich glaube so ein Beweis wie in deinem Dokument kann nicht funktionieren, weil er viel zu deterministisch rechnet. Egal was du da ausrechnest, letztendlich ist es durch konkrete arithmetische Gleichungen ausgerechnet worden und daher, zu deterministisch, um die chaotische Verteilung der Primzahlen zu beschreiben. Ich glaube eher, dass vielleicht irgendwann jemand ein abstraktes Argument mit stochastischen Mitteln auf die Beine Stellen wird, dass dann den Beweis irgendwie implizit erbringt, aber sicher bin ich mir da auf keinen Fall.
Man könnte erstmal versuchen überhaupt zwei disjunkte Folgen $(a_1,b_1)$ und $(a_2,b_2)$ (definiert wie oben und jeweils mit $gcd(a_i,b_i)=1$) zu finden,
sodass unendlich viele Stellen beider Folgen gleichzeitig prim sind. Das stelle ich mir aber als mindestens genauso schwierig vor.
Zum Beispiel könnte man sich fragen, ob jeweils $(31,1)$ und $(31,29)$ an unendlich vielen Stellen gleichzeitig prim sind, das heißt, ob es unendlich viele $k\in \mathbb{N}$ gibt, sodass $31k+1$ und $31k+29$ gleichzeitig prim sind. Doch hier ist ja wieder die Frage zu beantworten:
Wie verteilen sich die Primzahlen, von denen es in jeder der beiden Folgen unendlich viele gibt auf die beiden Folgen?
Ich persönlich habe nicht einmal einen Hauch von einem Ansatz.
Ich habe absolut keine Ahnung wie man das irgendwie beantworten könnte. :)
PS:
Mir ist noch etwas konkret an deinem Dokument aufgefallen:
Seite $8$ letzte Zeile: Du hast eine Gleichung der Form $A=B=A$ da stehen. Ist das Absicht?
\(\endgroup\)
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Profil
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lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11267
Wohnort: Sankt Augustin NRW
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-08-05
|
Hallo
"aber eine unendliche Anzahl stünde nichts im Wege." das stimmt schon immer bisher für die Zwillinge. aber dass es wirklich in denen Algorithmus immer weiter geht ist ja das was man beweisen müsste!
lula
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Ixx
Aktiv
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 220
 | Beitrag No.10, eingetragen 2021-08-05
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Das beste Ergebnis in der Nähe der Primzahlzwillingsvermutung dürfte immer noch das von Tao et al. aus dem Polymath-Projekt sein, dass es unendlich viele verschiedene Paare (p,q) von Primzahlen mit $phier.
Über einfache Teilbarkeitsargumente wird man hier nicht zum Ziel kommen. Beispielsweise wird in Beitrag No 4. zwar korrekt argumentiert, dass für p>3 die beiden Zahlen p#/3-1 und p#/3+1 jeweils keinen Primteiler besitzen können, der höchstens p beträgt. Das zeigt aber in keiner Weise, dass beide Zahlen selbst Primzahlen sein müssten -- oder auch nur, dass das unendlich oft der Fall sein sollte.
Machen wir mal eine heuristische Überlegung: Es ist ln(p#) ca. p, also eine Zufallszahl dieser Größenordnung nach dem Primzahlsatz mit einer a'priori-Wahrscheinlichkeit von 1/p prim. Wir wissen aber, dass beide Zahlen p#/3 $\pm$ 1 durch keine der Primzahlen q<=p teilbar sind. Das erhöht die a'priori-Wahrscheinlichkeit um den Faktor ln(p). Unter der Annahme, dass die eine prim ist, verändert sich die a'priori-Wahrscheinlichkeit, dass es die andere auch ist, noch um die Primzahlzwillings-Konstante, da ja jeweils einzelne Restklassen modulo q nun schon ausgeschlossen sind. Jedenfalls kommen wir in Abhängigkeit von p auf eine a'priori-Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Zahlen p#/3 $\pm$ 1 Primzahlen sind, von $c \cdot \frac{\ln^2 p}{p^2}$. Summiert man dies über alle Primzahlen $p$, so konvergiert diese Reihe. Wir erwarten also tatsächlich nur endlich viele Primzahlzwillingspärchen genau dieser Form...
Auch rein stochastische Argumente, die nur mit der Dichte der Primzahlen in den natürlichen Zahlen arbeiten, reichen nicht aus, da man einfach Mengen konstruieren kann, die der gleichen Verteilung genügen, deren entsprechende Zwillings-Vermutung allerdings falsch ist.
Es dürfte also schon etwas tiefschürfender Gedanken benötigen...
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pzktupel
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Dabei seit: 02.09.2017
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Wohnort: Thüringen
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-08-05
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> ...dass beide Zahlen p#/3 ± 1 Primzahlen sind
Nee, also das ist nie der Fall, weil immer der Teiler 3 in einer der 2 Zahlen vorkommt.
Wie gesagt, war ja nur ein Idee - Bausteinchen.
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