Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Mathematik » Lineare Algebra » Begründen Sie, ob diese Aussagen wahr oder falsch sind
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Begründen Sie, ob diese Aussagen wahr oder falsch sind
Steffen120
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.01.2021
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-18


Aussage 1:
Es gibt eine lineare Abbildung phi auf dem reellen Vektorraum R3 so, dass die Menge

(1, 1, 0),(0, 1, 1)

eine Basis des Kerns ker phi von phi ist und die Menge

(1, 0, 0),(0, 0, 1)

eine Basis des Wertebereiches W(phi) von phi ist.

Aussage 2: Die Inversenabbildung Gl(2;R) ∈A  → A^−1 ∈ Gl(2;R) ist ein Gruppenhomomorphismus auf Gl(2;R) bezüglich der Matrizenmultiplikation.


Könnte mir jemand helfen ich komme bei diesen beiden Aussagen leider gar nicht weiter und habe leider auch keinen Ansatz.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6118
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-18


Hallo und willkommen hier im Forum!

So viel sei verraten: beide Aussagen sind falsch.

In beiden Fällen benötigt man wichtige Sätze bzw. Eigenschaften, um das jeweils zu begründen.

Für die 1) sollte dir ein Satz bekannt sein, in dem die Dimensionen von Kern und Bild eine Rolle spielen.

Für die 2) musst du einfach mal nachschlagen, wie Gruppenhomomorphismen definiert sind und dann überprüfen, ob die Inversion diese Eigenschaft erfüllt. Bzw. begründen, weshalb sie das nicht tut.

Das sind ehrlich gesagt Fragen, die man normalerweise durch ein kurzes Durchblättern seiner Lehrmittel selbst beantworten kann. Das soll jetzt kein Vorwurf ein, nur eine Anregung...


Gruß, Diophant



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
helmetzer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1500
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-18


Moin.

Wähle einen Titel, der inhaltlich etwas aussagt.

Zu 1. Es gibt eine Formel, wie die Dimension von Kern und Bild zusammenhängen.

Zu 2. Schreibe (in einer beliebigen Gruppe) hin:

\((ab)^{-1} = \dots\)

Was muss also gelten, damit die Inversion ein Endom. einer Gruppe ist?

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Knappe Antworten sind gewollt und sollen nicht unhöflich sein. Wenn du nachfragst, kurz deinen Kenntnisstand schildern!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Steffen120
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.01.2021
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18


Meint ihr für 1. Das hier (A)=Dim(Kern(A))=n−Rang(A)?


Bei 2.
 Zu jedem Gruppenelement a ∈ G gibt es ein inverses a−1 ∈ G mit a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e


a −b
b a 

×

c −d
d c 

=

ac − bd −(ad + bc)
ad + bc ac − bd 



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6118
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

au weia. Bei der ersten Aufgabe meinen wir das gleiche: den Rangsatz. Schlage ihn nach und begründe, warum er hier nicht erfüllt sein kann. Und schreibe es sauber auf!

Zur Aufgabe 2: hier ist nicht die Definition von Gruppen als solchen gefragt (denn dass die invertierbaren Matrizen gleicher Dimension bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden, wird hier vorausgesetzt): du solltest nachschlagen, wie ein Gruppenhomomorphismus, also eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Gruppen definiert ist.

Und dann musst du auch herausfinden, was die Inversion mit dem  Produkt \(A\cdot B\) macht, also was \(\left(A\cdot B\right)^{-1}\) tatsächlich ist.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Steffen120
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 18.01.2021
Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18


1.
Der Rangsatz besagt, dass die Anzahl der Spalten der Matrix A" gleich der Summe der Dimension des Kerns und der Dimension des Bildes ist.

Jetzt weiß ich aber nicht weiter.

Ich dachte daran dass vllt. die beiden Mengen aus dem Wertebereich eher nach einheitsvektoren aussehen und es deshalb nicht möglich ist und das das mit den ersten beiden Mengen dann möglich ist zu beweisen....



2. Die Inversenabbildung ist doch eigentlich bloß eine Umkehrfunktion. Der gruppenhomomorphismus ist ja wenn 2 Gruppen miteinander verträglich sind.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6118
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-01-18 12:54 - Steffen120 in Beitrag No. 5 schreibt:
1.
Der Rangsatz besagt, dass die Anzahl der Spalten der Matrix A" gleich der Summe der Dimension des Kerns und der Dimension des Bildes ist.

Nein. Schlage das nochmal nach. Der Rangsatz lautet

\[\dim V=\dim\ker f+\dim\on{im} f\]
In Worten: Die Dimension des Kerns plus die Dimension des Bilds ergibt die Dimension des Urbildraums. Alle drei sind hier entweder direkt oder indirekt gegeben, du musst also nur prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist.

2021-01-18 12:54 - Steffen120 in Beitrag No. 5 schreibt:
Jetzt weiß ich aber nicht weiter.

Ich dachte daran dass vllt. die beiden Mengen aus dem Wertebereich eher nach einheitsvektoren aussehen und es deshalb nicht möglich ist und das das mit den ersten beiden Mengen dann möglich ist zu beweisen....

Beachte im Aufgabentext die zweimalige Verwendung des Begriffs Basis. Dadurch weißt du bereits, welche Dimension Kern und Bild haben!

2021-01-18 12:54 - Steffen120 in Beitrag No. 5 schreibt:
2. Die Inversenabbildung ist doch eigentlich bloß eine Umkehrfunktion. Der gruppenhomomorphismus ist ja wenn 2 Gruppen miteinander verträglich sind.

Hm. Das ist jetzt so allgemein dahergeredet, ohne dass irgendetwas greifbares damit gesagt wäre. So kann man nicht Mathematik machen.

Nochmal:

Was ist (für invertierbare Matrizen A, B) konkret \(\left(A\cdot B\right)^{-1}\)?

Wie lautet die Definition für den Begriff Gruppenhomomorphismus?

Ist diese Definition durch die Inversenabbildung erfüllt?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Steffen120 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Steffen120 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]