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  Komplexes Integral berechnen durch Transformation? |
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MaxIMP2415
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Hi liebe Mitglieder des Matheplanet,
ich soll folgendes Integral berechnen
$$ \int_{B_1} \underbrace{\frac{e^{i(x\xi+y\nu)}}{\sqrt{1-x^2-y^2}}}_{:=f(x,y)}dx dy $$
wobei $B_1$ vermutlich die Einheitskugel bezeichnen soll. Als Hineweis ist gegeben, dass man durch eine Rotation oE $ \nu = 0$ annehmen kann.
Da im Exponenten ein Skalarprodukt von $(x,y)^T$ mit $(\xi ,\nu)^T$ steht, können wir unser Koordinatensystem so drehen, dass diese Projektion, der x-Komponente mal der Länge des Vektors $(\xi, \nu)^T$ entspricht, indem $ \frac{1}{\sqrt{\xi^2+\nu^2}}(\xi,\nu)^T $ unser neuer x-Basis Vektor wird und der y-Basisvektor entsprechend orhtogotnal. Also durch die Transformation
$$ T= \frac{1}{\sqrt{\xi^2+\nu^2}}\begin{pmatrix}
\xi & -\nu \\
\nu & \xi
\end{pmatrix} $$
$$ \Rightarrow \int_{T^{-1}(B_1)}f(T(x,y)) dx dy = \int_{B_1} \frac{e^{i(x\sqrt{\xi^2+\nu^2})}}{\sqrt{1-x^2-y^2}}dx dy $$
Dieses Integral entspricht (nach dem Transformationssatz) dem ursprünlgichem, denn $det(T)=1$.
Und was hat das gebracht?
Vermutlich muss man eine (nicht-lineare) Transformation anwenden (der entsprechende Satz zur Integration ist mir bekannt).
Ich würde mich sehr freuen über Hinweise, wie ich dieses Integral berechnen könnte!
LG Max
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MaxIMP2415
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|      Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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Hat irgendjemand eine Idee für mich?
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piquer
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-18
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Deine Transformation stimmt. Nutze jetzt Polarkoordinaten.
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MaxIMP2415
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18
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wir hatten Polarkoordinaten offiziell noch nicht (kommen jetzt die Woche). Habe es aber trotzdem mal probiert, aber komme auf nichts. Auch der online-Integralrechner kann mir nicht weiterhelfen (für $\sqrt{\xi^2+\nu^2}$ schreibe ich C):
$$ \int \frac{e^{ircos(\theta)C}}{\sqrt{1-r^2}}rdrd\theta = \frac{1}{2} \int \frac{e^{i\sqrt{t}cos(\theta)C}}{\sqrt{1-t}}dtd\theta $$
Alternativ
$$ \int \frac{e^{ircos(\theta)C}}{\sqrt{1-r^2}}rdrd\theta = \int \frac{e^{isin(\phi)cos(\theta)C}}{{cos(\phi)}}sin(\phi){cos(\phi)}d\phi d\theta$$
Ich bräuchte da leider noch etwas mehr Input.
Vielen Dank!
LG
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MaxIMP2415
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19
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Hat noch jemand einen Hinweis für mich?
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piquer
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-19
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Bitte entschuldige meinen irreführenden Hinweis zu Polarkoordinaten. Denn dieser führt auf Besselfunktionen. Du kommst schnell zum Ziel, wenn dir vergegenwärtigst, dass der Exponentialterm unabhängig von $y$ ist, weshalb du darüber direkt integrieren kannst. Wie lauten die Grenzen für $y$ bei festem $x$, sodass $(x, y) \in B_1$ gilt?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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MaxIMP2415
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19
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Ich komme dann auf nicht. Die Grenzen bei festem x sind $\sqrt{1-x^2}, - \sqrt{1-x^2}$
Man erhält:
$$ e^{ixC} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{1}{\sqrt{1-(x^2+y^2)}} dy = e^{ixC}( arcsin(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-arcsin(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ))$$
Und wenn ich das nun probiere zu integriere, komme ich nicht weiter...
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piquer
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-19
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Wie kommst du denn auf den Ausdruck rechts? Wie lautet deine Stammfunktion. Zur Kontrolle: Das Ergebnis sollte $\pi e^{i C x}$ sein.
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MaxIMP2415
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19
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Meine Stammfunktion ist $$ arcisn(\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}) $$
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MaxIMP2415
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19
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Ok sorry, habe bei meiner Rechnung im Stress die Wurzel vergessen.
Danke!
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