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Strukturen und Algebra » Ringe » Zeige, dass -X+(g) eine Einheit ist.
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Universität/Hochschule J Zeige, dass -X+(g) eine Einheit ist.
Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-18


Hallo,

es sei $K=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, $c \in K$ und $g= X^2+X+1 \in K[X]$. Außerdem sei $(g)$ das von $g$ erzeugte Huaptideal und $R=K[X]/(g)$.

Frage: Ist $R$ ein Integritätsring? Zeigen Sie, dass $-X+(g) \in R$ eine Einheit in $R$ ist.


Idee:
$g$ ist nicht irreduzibel, da $g=(x+2) \cdot (x+2)$, und somit kein Primelement. Daraus kann ich folgern, da $K[X]$ ein Integritätsring ist, dass ist $R$ kein Integritätsring ist.


Bei der Aufgabe mit der Einheit hänge ich. Wenn $g$ irreduzibel wäre, könnte ich sagen, dass $R$ ein Körper ist. Somit wäre $-X+(g)$ eine Einheit. Leider ist $g$ nicht irreduzibel.

An dieser Stelle mal die Frage, ob ich $R$ richtig verstehe. Es gilt $ R=( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]/(g)= \{f + (g) \ \vert \ f \in (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]\}= \{aX+b \ \vert \ a,b \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \}$
Letzte Gleichheit folgt, da $g$ Grad $2$ besitzt.


Danke schon mal für eure Antworten.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-18


Hallo,

kannst du nicht direkt ein Inverses von $-X+(g)$ angeben?
\[
(-X+(g))\cdot (X+1+(g))=-X^2-X+(g)=\ldots
\]
2021-01-18 18:40 - Bruce94 im Themenstart schreibt:

An dieser Stelle mal die Frage, ob ich $R$ richtig verstehe. Es gilt $ R=( \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]/(g)= \{f + (g) \ \vert \ f \in (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[X]\}= \{aX+b \ \vert \ a,b \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \}$
Letzte Gleichheit folgt, da $g$ Grad $2$ besitzt.


Das stimmt nicht ganz, glaube ich. Aber jedes Element in $k[X]/(g)$ hat einen Repräsentanten von der Form $aX+b$. Aber eigentlich müsstest du schreiben:
\[
\ldots  = \{aX+b +(g) \ \vert \ a,b \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \}
\]



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Bruce94
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-18


Hallo ochen,

vielen Dank für deine Antwort. Das hilft mir sehr!

Zu dem Inversen:

\[
(-X+(g))\cdot (X+1+(g))=-X^2-X+(g)=\overline{1},
\] da $\overline{1} \cdot g \in (g)$ und $-X^2-X+X^2+X+\overline{1}=\overline{1}$ gilt.

Zu dem $R$:
Ich kann also auch
\[
R=\{f+(g) \ \vert \ f \in K[X] \}= \{aX+b + (g) \ \vert \ a,b \in K \}
\] schreiben, da ich durch den Grad von $g$ alle Elemente mit einem Grad größer gleich 2 „abziehen“ kann. D.h.: $\forall \ h \in K[X] \ \exists! a,b \in K: \overline{h}=aX+b$, richtig?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-19


2021-01-18 18:40 - Bruce94 im Themenstart schreibt:
An dieser Stelle mal die Frage, ob ich $R$ richtig verstehe.
 
Nein. Aber das liegt nicht an dir. Du hängst dich an der mengentheoretischen Konstruktion auf, die in Büchern derzeit immer noch die wichtigste Rolle einnimmt. Was Quotientenringe eigentlich sind, kannst du hier nachlesen: LinkKonzepte der Ringtheorie (und was Quotientengruppen sind, hier: LinkKonzepte der Gruppentheorie).



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