haegar90
Aktiv Dabei seit: 18.03.2019 Mitteilungen: 572
Herkunft: Gog
Themenstart: 2021-01-18
Hallo,
mich beschäftigt gerade die Frage, ob und wie man eine Formel
für die Seitenlänge (hier mit $a$ bezeichnet) von n-Ecken finden kann. Das hat folgenden
Hintergrund.
Fügt man in ein regelmäßiges konvexes Polygon ({n}-Eck) mit $n > 4$ alle Diagonalen $d$ ein,
so wird damit in das {n} ein kleineres, gleiches {n} einbeschrieben.
Die hier gemeinten Diagonalen $d$ bilden gleichschenklige Dreiecke,
welche jeweils aus zwei Schenkeln der Seitenlänge $a$ des Polygons und der Diagonalen $d$ bestehen.
Summiert man die Flächen $A_i$ aller so entstehenden {n} auf, ergeben sich
für die Gesamtflächen $A_G$ und die Summen der Seitenlängen $a_G$ die nachstehenden bespielhaften Ergebnisse.
Sei $a_0$ die Seitenlänge des ${n_0}$-Polygons und $a_1$ die Seitenlänge des jeweiligen einbeschriebenen ${n_1}$-Polygons. Analog für die Diagonalen $d_0$ und $d_1$.
Für das regelmäßige Fünfeck:
\[A=\frac{a^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}},\;\; d_i=a_i \Phi,\;\; a_{i+1}=\frac{a_{i}}{\Phi^2}=\frac{2 a_i}{1+\sqrt{5}},\;\; d_{i+1}=a_i\]
\[A_G=\sum_{i=0}^\infty A_i=\sum_{i=0}^\infty \left(\frac{a_i^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}} \right)=
\frac{a_0^2 (5)^\frac{3}{4}}{4\Phi^\frac{5}{2}}=\frac{a_0^2\sqrt[4]{5^3}}{4\sqrt{\Phi^5}}=
\frac{a_0^2}{4}\sqrt{\frac{5}{2}(25+11\sqrt{5})}\]
\[a_G=\sum_{i=0}^\infty a_i=a_0 \Phi^2\]
Für das regelmäßige Achteck:
\[A=2 a^2(1+\sqrt{2}),\;\; d_i=a_i\sqrt{2+\sqrt{2}},\;\; a_{i+1}=a_i\sqrt{2-\sqrt{2}},\;\;\]
\[A_G=\sum_{i=0}^\infty A_i=\sum_{i=0}^\infty \left(2 a_i^2(1+\sqrt{2})\right)=
\left(\frac{2 a_0^2(1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}-1}\right)\]
\[a_G=\sum_{i=0}^\infty a_i=a_0\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)\]
Die Gesamtflächen $A_G$ müssten eigentlich mit steigendem {n} exponentiell wachsen und mit der Annäherung an den Kreis unendlich groß werden. Wenn ich mich nicht verrechnet / verschrieben habe, ist aber die
Fläche $A_G$ des fünf-Ecks (alle n-Ecke haben für die Berechnung den gleichen Umfang) größer als die des sechs-Ecks. EDIT: Stimmt nicht, musste
für $a_{i+1}:=\frac{a_i}{\Phi^2}$ sein.
Kann mir jemand helfen eine Formel für $a$ herzuleiten ?
Genauer gesagt wie sich das Verhältnis von $\frac{a_{i+1}}{a_i}$ in Abhängigkeit von {n} bestimmen lasst.
Beispielbild: Achteck mit den eingezeichneten acht Diagonalen $d$ und das
damit einbeschriebene erste kleinere Achteck.
haegar90
Aktiv Dabei seit: 18.03.2019 Mitteilungen: 572
Herkunft: Gog
Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19
Hallo,
habe nun selbst die Herleitung einer Formel für $a_{i+1}$ versucht.
Kann die jemand bestätigen ?
Ich kann im Internet nichts Vergleichbares finden.
Ggf. besitzt jemand eine Formelsammlung für die Schachtelung konvexer Polygone in der sich etwas ähnliches finden lässt.
Hiermit geht für große {n} tatsächlich $\frac{a_{i+1}}{a_i}$ gegen 1.
haribo
Senior Dabei seit: 25.10.2012 Mitteilungen: 2766
Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-19
bin nicht sicher ob ich deine frage verstehe, da du in der überschrift nach flächen fragst, aber offenbar längen suchst?
versuch:
ein stern mit 2n strahlen geschickt auf die ecke eines n-ecks gesetzt geht durch alle n ecken und berührt zwei seiten des nächst-inneren n-ecks
in den beiden rechtwinkligen weissen dreiecken könnte man die längenverhältnisse a(0)/a(1) darstellen
\ a(1)/(sin (1.5 x 360°/2n))=a(0)/(cos(360°/2n))
a(1)/a(0)= (sin (1.5 x 360°/2n))/cos(360°/2n)
nachtrag: den sin(1.5 X...) kann man besser durch den gegenwinkel und cos ersetzen also cos(2 x 360°/2n) bzw cos(360°/n)
2. nachtrag formel corrigiert, es passt aber offenbar nur für n=7???
haegar90
Aktiv Dabei seit: 18.03.2019 Mitteilungen: 572
Herkunft: Gog
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-19
Hallo haribo,
danke für die Antwort.
Noch verstehe ich deine Darstellung nicht vollständig.
Das liegt natürlich nicht an der Darstellung sondern eher an mir.
Sehe mir das aber weiter an und hoffe es zu verstehen.
Nur noch mal als Schilderung, damit wir über das Gleiche sprechen.
Es geht darum, für jedes beliebige regelmäßige konvexe Polygon (n-Eck)
den Gesamtflächeninhalt zu bestimmen. Dieser soll aus der Summe: Fläche des Ausgangs n-Ecks plus Fläche des nächst kleineren n-Ecks (ergibt sich durch die einzuzeichnenden Diagonalen) usw. gebildet werden.
Das Ausgangs n-Eck hat die Seitenlänge $a_0$ und das nächste die Seitenlänge $a_1$ usw.. Die ja nötig ist um die Flächen aller n-Ecke bis quasi unendlich zu berechnen. Dafür soll die Formel in #1 zur Bestimmung der Längen $a_{i+1}(a_i)$ sein.
Ich habe hier ein paar Beispieldaten zur Ansicht und ggf. Prüfung
ob die Formel stimmen könnte.
haribo
Senior Dabei seit: 25.10.2012 Mitteilungen: 2766
Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-19
ja, also A+B in deiner tabelle ist 180° soweit hab ichs verstanden
für n=7 komme ich auf gleiche ergebnisse a(1)/a(0) (bzw den kehrwert) wie du, aber offenbar nur für dieses n... dann ist mein ansatz wohl (noch) ziemlich mistig, ich versuch erstmal meine formel zu korrigieren
haribo
Senior Dabei seit: 25.10.2012 Mitteilungen: 2766
Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-19
der erste versuch war fast richtig der zweite könnte nun passen, immer noch in den beiden rechtwinkligen weissen dreiecken der skizze gedacht
(nimm einfach an die pinke linie wäre 1 skaliert)
\ ai/(cos(360°/n))=a0/(cos(360°/2n)
ai/a0= (cos(360°/n))/(cos(360°/2n))
cos mit doppelten winkel kann man evtl noch weiter verändern
jetzt stimmt mein ergebniss mit deiner zweitletzten spalte überein
(ick hoff ich hab nicht wieder irgend etwas vertauscht)
.. ai a0 ai/a0
n C D C/D
.. cos(360/n) .. ..
.. .. cos(360/2n)
-----------------------------------
4 0,000 0,707 0
5 0,309 0,809 0,381966011
6 0,500 0,866 0,577350269
7 0,623 0,901 0,692021472
8 0,707 0,924 0,765366865
9 0,766 0,940 0,815207469
haegar90
Aktiv Dabei seit: 18.03.2019 Mitteilungen: 572
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20
Toller Ansatz,
darauf wäre ich auch mit so einem schönen Grafikprogramm nicht gekommen.
Passt, beide Ergebnisse sind nach 1000 Durchläufen sehr ähnlich. Trotzdem wundert es mich dass es überhaupt Abweichungen gibt.
Wenn heute Nachmittag mal Zeit ist, so müsste man eigentlich
die Formel aus #1 in die schöne einfache Form in #5 überführen können, da beide identisch sind.
haribo
Senior Dabei seit: 25.10.2012 Mitteilungen: 2766
Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-20
mercy,
aber ansich brauchte es auch nur deine zeichnung: das hellgrüne dreieck hat nun mal die eigenschaften dass der rote winkel doppelt so gross ist wie die beiden spitzenwinkel(grün) da es ein gleichschenkliges dreieck ist
und dass der rote winkel 360°/n beträgt ist auch nicht sooo verborgen...
haegar90
Aktiv Dabei seit: 18.03.2019 Mitteilungen: 572
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-20
2021-01-20 11:46 - haribo in Beitrag No. 7 schreibt:
...
viel spass beim formelumstellen, grrrrr
....
Sei es drum! 🙃
Das eigentliche Vorhaben war es, explizite Ausdrücke für $A_G$ zu finden mit
denen man dann ggf. die Flächen $A_G$ für z.B. n: 15,20,25,30,.. bestimmen kann.
Vereinzelt gelingt das auch. Für 6 und 12 oder 5 und 10. Mit Hilfe von WolframAlpha.
Nur wirft für 15 oder 18 WA keine solchen Ergebnisse aus.
Gibt es möglicherweise ein Verfahren welches man hierauf anwenden könnte ?
haribo
Senior Dabei seit: 25.10.2012 Mitteilungen: 2766
Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-20
oh je, was ist blos AG? ne fläche?
hab ich irgendwo deine prinzipielle skalierung übersehen? bisher dachte ich, womöglich unüberlegt und somit fälschlich-trächtig, dass sich alles innerhalb eines einheitskreises befindet
die skalierung war mir dabei egal weil ich mich nur mit a0/ai beschäftigte
MartinN
Aktiv Dabei seit: 05.08.2016 Mitteilungen: 1249
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Beitrag No.11, eingetragen 2021-01-21
Ich hab mir das mal überlegt - vielleicht hilft meine Berechnung.
Gegeben seien der Mittelpunkt M und die Ecken A_1 bis A_n eines regelmäßigen n-Ecks.
OBdA sei: \(r = MA_i = 1\)
Dann ist:
\(s_1 = (A_iA_{i+1}) = \sqrt{2-2\cos(\frac{2\pi}{n})}\)
Weiterhin sei:
\(s_k = (A_iA_{i+k}) = \sqrt{2-2\cos(k\frac{2\pi}{n})}\)
Nun schneiden sich \(A_iA_{i+k}\) und \(A_{i+1}A_{i+1+k}\) in \(B_k\).
Dabei sind die Dreiecke: \(A_{i+1}A_{i+k}B_k\) und \(A_{i}A_{i+1+k}B_k\) gleichschenklig, da symmetrisch zu \(MB_k\), und haben bei \(B_k\) denselben Innenwinkel - damit sind die Dreiecke ähnlich.
Und es gilt:
\(A_iB_k : A_iA_{i+1+k} = A_{i+1}B_k : A_{i+1}A_{i+k}\)
Dabei ist die gesuchte Länge:
\(a_k = (A_iB_k) - (A_{i+1}B_k)\)
Da die Segmente \(a_k\) zwischen benachbarten \(B_k\) wieder ein regelmäßiges n-Eck bilden, ist der Innenwinkel der obengenannten ähnlichen Dreiecke gleich dem Innenwinkel eines n-Ecks, also: \(w = \pi - \frac{2\pi}{n}\)
Damit gilt zudem:
\(s_{k+1} = (A_iA_{i+1+k}) = (A_iB_k) \sqrt{2 - 2\cos(w)}\\
s_{k-1} = (A_{i+1}A_{i+k}) = (A_{i+1}B_k) \sqrt{2 - 2\cos(w)}\)
Dann ist:
\(A_k = \frac{na_k^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}\\
= n \cos^2(k\frac{\pi}{n}) \tan(\frac{\pi}{n})\)
Und somit:
\(A_G = \sum_{k=1}^{k\leq n/2} A_k = n \tan(\frac{\pi}{n}) \sum_{k=1}^{k\leq n/2} \cos^2(k\frac{\pi}{n})\)
Es geht also um die Summe von Quadraten von Cosinus-Werten... das sollte sich berechnen lassen. Die Summenformeln für Winkelfunktionen sind ja allgemein bekannt.
MartinN
Aktiv Dabei seit: 05.08.2016 Mitteilungen: 1249
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Beitrag No.13, eingetragen 2021-01-22
Ich frag mich gerade, ob ich deine Aufgabe richtig verstanden habe - oder eine (mMn) interessantere bearbeitet habe xD
Ich hatte es so verstanden:
Man habe ein regelmäßiges n-Eck (oBdA r_u = 1).
Dann füge man alle Diagonalen mit Abstand k ein. Also für k = 1 die benachbarten Punkte, k = 2 zwischen einen Punkt und den übernächsten, k = 3 zwischen einen Punkt und dem dritten danach, usw.
Diese n Diagonalen (mit Abstand k) bilden im n-Eck wieder ein n-Eck, deren Flächeninhalt ist A_k. Somit wäre A_1 der Flächeninhalt des ursprünglichen n-Ecks.
Wenn ich das richtig sehe beschäftigt ihr euch aber nur mit A_2?
Und wollt in A_2 wieder ein A_2 einzeichnen usw...
Also bei euch:
\(A_1 = n \cos^2(\frac{\pi}{n}) \tan(\frac{\pi}{n})\\
A_2 = n \cos^2(\frac{2\pi}{n}) \tan(\frac{\pi}{n})\\
\to \frac{A_2}{A_1} = \frac{\cos^2(\frac{2\pi}{n})}{\cos^2(\frac{\pi}{n})} = \frac{\cos(\frac{4\pi}{n}) + 1}{\cos(\frac{2\pi}{n}) + 1}\)
Und jetzt wollt ihr mit A_2 genauso verfahren, als wäre es A_1... und dann wäre bei euch:
\(\frac{A_G}{A_1} = \sum_{i=0}^{\infty} (\frac{A_2}{A_1})^i\\
= \frac{1}{1 - \frac{A_2}{A_1}}\)
(einfache geometrische Reihe)
Dies sollte das Verhältnis der Summe A_G aller Flächen (jetzt weiß ich auch, warum ihr bis unendlich summieren könnt xD) zur ursprünglichen Fläche A_1 des n-Ecks sein.
Damit kann ich mich ja jetzt komfortabel auf die Suche nach Ausdrücken
wie beispielsweise diese hier machen 🙂.
\[A_G\lbrace 6 \rbrace=\left(\frac{3a_0}{2}\right)^2\sqrt{3}\]
\[a_G\lbrace 6 \rbrace=\frac{a_0(3+\sqrt{3})}{2}\]
MartinN
Aktiv Dabei seit: 05.08.2016 Mitteilungen: 1249
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Beitrag No.15, eingetragen 2021-01-22
Solche Ausdrücke wirst du vor allem dafür finden, wenn cos(2pi/n) eine schöne algebraische Zahl ist ;)
Darf man fragen, wie du auf diese Idee kamst bzw. warum diese Summen? Reines Interesse an n-Ecken in n-Ecken oder noch mehr ^^
Wie in meinen ersten beiden Posts... Nicht nur wenn du alle Diagonale zwischen übernächsten Eckpunkten einzeichnest entsteht ein n-Eck in der Mitte. Sondern auch wenn man mehr Punkte auslässt. Und fern Flächen / Seitenlängen / Summen der Flächen lassen sich auch einfach bestimmen n)
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Themenstart: 2021-01-18
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