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Analysis » Folgen und Reihen » Landau-Notation Beweis
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Universität/Hochschule Landau-Notation Beweis
hanuta2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-20


Hallo zusammen,
ich hab hier eine Aufgabe, und bin mir nicht sicher wie man sowas löst, da ich mich bisher nie mit Landau Symbolen befassen musste:
Ich soll zeigen, dass
\( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n w_i^2 \) genau dann konvergiert, wenn \(max_{1 \leq k \leq n} w_k = o(\sqrt n)\)
Die \(w_i\) sind dabei irgendwelche Gewichte (ein Beispiel wäre \(w_i= \frac{i}{n}^{- \frac{1}{t-1}} \) für irgendein t größer 1. Kann natürlich aber auch anders aussehen).
Wenn ich einfach mal annehme, dass die \(w_i\) alle irgendwo in dem Bereich von \( \sqrt n \) sind, dann ist es ja klar, dass das divergiert. Aber wie zeige ich das vernünftig?

LG




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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
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Herkunft: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-23


Hallo hanuta2000,
ersetze das Landausymbol durch dessen Definition, dann ist es weg. Bei deinem ersten Beispiel muss \(w_i\) unabhängig von \(n\) definiert werden. Das zweite Beispiel etwas modifiziert \(w_i = i^{1/4}\), da stimmt die Behauptung nicht. Die Summe divergiert, obwohl die Folge der \(w_n\) zu \(o(\sqrt(n))\) gehört.

WolframAlpha: lim (sum k^(1/2)/n for k=1 to n) for n to infinity

Viele Grüße,
  Stefan



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