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Kein bestimmter Bereich * "Goldener Schnitt Transformation"
MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-22


Bei dieser Aufgabe konnte ich sehen, wie man Lösungen n-ten Grades schön in lineare Funktionen umwandeln kann, wenn man weiß, dass der goldene Schnitt eine Lösung dieser Gleichung ist. Daher kam ich auf folgende Aufgabe XD


Gegeben sei eine "Goldene Schnitt Transformation" (GST):
\(x^2 = px + q; p,q \in \IZ\)

Damit kann man jede Funktion:
\(f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i; a_i \in \IZ\)
in eine lineare Funktion umwandeln:
\(\to f(x) = ux + v; u,v \in \IZ\)

Ebenso lässt sich eine gebrochenrationale Funktion:
\(g(x) = \frac{f_1(x)}{f_2(x)}\)
fast immer in eine lineare Funtkion umwandeln:
\(\to g(x) = ux + v; u,v \in \IZ\)


Kommen wir also zu dem "fast immer"
Zeigen sie:
(1) Mit der "GST" \(x^2 = x + 1\) (der klassische Goldene Schnitt) lässt sich jede gebrochenrationale Funktion \(g(x)\) mit ganzzahligen Koeffizienten in eine lineare Funktion umwandeln.
(2) Die gebrochenrationale Funktion \(g(x) = \frac{1}{2x+1}\) lässt sich für jede "GST" in eine lineare Funktion umwandeln.
(3) Für welche "GST" gibt es dann gebrochenrationale Funktionen, die sich nicht in eine lineare Funktion umwandeln lassen?



Anmerkung:
Allgemeiner könnte man sagen, eine (n,m)-GST sei:
\(x^n = \sum_{k=0}^m p_k x^k; m < n; p_k \in \IZ\)
Damit ließe sich jedes ganzzahlige Polynom \(\sum_{i=0}^N a_i x^i; a_i \in \IZ\) auf ein ganzzahliges Polynom mit Grad höchstens \(m\) reduzieren: \(\to \sum_{i=0}^{M \leq m} u_i x^i; u_i \in \IZ\). Und es ließen sich Bedingungen angeben, wenn dies für gebrochenrationale Polynome nicht mehr so einfach geht. Wobei hierbei n = 2 und m = 1 betrachtet wird.

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