Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Stetigkeit cos(1/x)
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Stetigkeit cos(1/x)
sina1357
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 88
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-24


Hallo zusammen,

ich untersuche folgende Funktion auf Stetigkeit:

f(x)=    1,      falls x=0  
       cos(1/x), sonst

Ich weiß, dass der Grenzwert von cos(1/x) gegen 0 nicht existiert,
daher fehlt mir der Ansatz, wie ich die Stetigkeit für x=0 prüfen kann.

Vielen Dank für eure Hilfe!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1945
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24


Huhu sina1357,

sehe dort: en.wikipedia.org/wiki/Continuous_function#Definition_in_terms_of_limits_of_functions

Bitte benutze in Zukunft \(\LaTeX\).

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1648
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-24


Hallo Sina,

Wenn ich richtig liege so sieht man mit der Tylorreihenentwicklung sofort dass es nicht stetig sein kann.

$\forall \epsilon >0 \; \exists \delta=\delta(\epsilon)$ sodass $|x|<\delta \rightarrow |cos(1/x)|< \epsilon $

$|cos(1/x)-1|$ lässt sich aber wunderschön als Tylorreihe schreiben. Insbesondere weil die Tylorreihe von $cos()$ schon mit einer $1$ beginnt.

$cos(1/x)-1=-\frac{1}{x^2 2!}+\frac{1}{x^4 4!}-\frac{1}{x^6 6!}+\frac{1}{x^8 8!}-\frac{1}{x^8 8!}+\frac{1}{x^{10} 10!}$

Bleibt zu zeigen dass dieser Ausruck sicher nicht gegen Null geht wenn $x\to 0$

Mein Ansatz wäre dann hier Zweiergrüppchen zu machen. Wenn diese Vorzeichengleich sind, dann

$=(-\frac{1}{x^2 2!}+\frac{1}{x^4 4!})+(-\frac{1}{x^6 6!}+\frac{1}{x^8 8!})+(-\frac{1}{x^8 8!}+\frac{1}{x^{10} 10!})...=\sum_{k=1}^\infty (-\frac{1}{x^{4k-2} (4k-2)!}+\frac{1}{x^{4k} (4k)!})$

Bei jedem dieser Zweiergrüppchen ist der rechtsseitige Ausdruck grösser als der Linksseitige sofoern $x$ genügend nah bei  Null lieg.
Somit ist jedes Zweiergrüppchen Positiv.

Der Gesamtausdruck ist somit grösser Null.

Irrtum vorbehalten. Bitte genau prüfen



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sina1357
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 88
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Danke für deine Hilfe!
Das Vorhandensein der Existenz als Kriterium kannte ich nicht.
Danke!!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11446
Herkunft: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-24


2021-01-24 19:45 - sina1357 im Themenstart schreibt:


Ich weiß, dass der Grenzwert von cos(1/x) gegen 0 nicht existiert,
daher fehlt mir der Ansatz, wie ich die Stetigkeit für x=0 prüfen kann.



Was müßtest Du denn machen, um Unstetigkeit zu zeigen?

Gruß Wauzi

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sulky
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1648
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-24


Vielleicht noch folgendes:

Kennst du das "Folgenkriterium" für Stetigkeit?

die Funktion $cos(1/x)$ springt in der Nähe des Nullpunktes derart nervös vom positiven zum negativen, da lassen sich bestimmt Folgen konstruieren
mit welchen man die Unsetigkeit zeigen kann.

Ich vermute dass im Sinne des Aufgabenstellers die Idee ist die Anwendung des Folgenkriteriums zu üben.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Phoensie
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 348
Herkunft: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Liebe sina1357

Für vielerlei Aufgaben der Analysis einer reellen Variable kannst du Funktionsgraphen zeichnen (z.B. Desmos-Grafikrechner (gratis, auch als App)), um dir eine Idee zu verschaffen, wie du am besten an die Aufgabe rangehst.

Um die Unstetigkeit zu zeigen (sofern dir das Folgenkriterium für Stetigkeit bekannt ist), kannst du dich, wie sulky treffend formuliert hat, auf die Suche nach geeigneten Folgen machen.

Vorgehen:
Versuche, eine Folge $(x_n)_{n \in \N}$ zu finden, für die \[\lim_{n \to \infty} x_n = 0\] erfüllt ist (es handelt sich also um eine Nullfolge), und die ABER
\[
\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq 1
\] ergibt.

Was nützt das?
Was du dann nämlich gezeigt haben wirst, ist
\[
\lim_{n \to \infty} f(x_n)
\neq
\underbrace{f\left( \lim_{n \to \infty} x_n \right)}_{=1}
\] was mit dem Folgenkriterium die Stetigkeit von $f$ widerlegt.

Zusätzlicher Tipp
Dein $f$ scheint (weil ein Kosinus verbaut ist) immer wieder (egal wie nahe bei $x=0$) den Wert -1 anzunehmen. Vielleicht kannst du ja dort eine konstant-wertige Folge erzeugen. Frage: Warum kannst du dich O.B.d.A. auf nichtnegative Folgeglieder $x_n \geq 0$ beschränken?

LG Phoensie😁
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sina1357 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sina1357 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]