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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Teilchen im Deltapotential
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Universität/Hochschule Teilchen im Deltapotential
peterpacult
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-25


Hallo zusammen,

ich habe Fragen zu folgender Rechnung:

$$\hat{H}\psi (x) = E \psi (x)$$ gilt:
$$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial^2 x} + \alpha \delta (x)$$, wobei $\alpha \delta(x) = V(x)$.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial^2 x} \psi (x) + \alpha \delta (x) \psi (x) = E \psi (x)$$ für die Bereiche  I und II gilt: $V(x) = 0$ D.h.  die stationäre Schrödingergleichung für ein freies Teilchen.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi'' (x) = E \psi (x)$$ Ansatz:
$$\psi (x) = e^{ikx} \Rightarrow E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \Rightarrow k = \pm \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$$ $$-\frac{\hbar^2}{2m} (-k^2) \psi (x) = E \psi (x)$$ für die Bereiche I und II gilt:
$$\psi_I (x) = A_1 e^{ikx} + A_2 e^{ikx}$$ $$\psi_{II} (x) = B_1 e^{ikx} + B_2 e^{-ikx}$$ für $x=0$: $V(x) = \alpha \delta (x)$ führen wir eine $\epsilon$ - Umgebung um $x=0$ ein und führen einen Grenzwertübergang für $\epsilon\rightarrow 0$ durch:
$$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \int\limits_{- \epsilon}^\epsilon - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial^2 x} \psi (x) dx + \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \int\limits_{- \epsilon}^\epsilon \alpha \delta (x) \psi (x) dx = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \int\limits_{- \epsilon}^\epsilon E \psi (x)$$ Erster Term:
$$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} - \frac{\hbar^2}{2m} [\psi' (\epsilon) - \psi' (-\epsilon)] = - \frac{\hbar^2}{2m} [\psi' (0^+) - \psi' (0^-)]$$ Die Stammfunktion zu einer zweiten Ableitung ist natürlich die erste Ableitung. \\
Zweiter Term:
$$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \alpha \int\limits_{-\epsilon}^\epsilon \delta (x) \psi (x) dx = \alpha \psi (0)$$ Rechenregel Delta-Distribution \\
Dritter Term:
$$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} E [ \int\limits_{- \epsilon}^0 \psi_I (x) dx + \int_0^\epsilon \psi_{II} (x) dx] = E \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} [\frac{A_1 e^{iky}}{ik} - \frac{A_2 e^{-ikx}}{ik} ] |_{- \epsilon}^0 + E \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} [\frac{B_1 e^{ikv}}{ik} - \frac{B_2 e^{-ikx}}{ik} ]|_0^\epsilon$$ $$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} E [ \frac{A_1}{ik} - \frac{A_2}{ik} - \frac{A_1 e^{-ik\epsilon}}{ik} + \frac{A_2 e^{ik \epsilon}{ik} + \frac{B_1 e^{ik \epsilon}}{ik} - \frac{B_2 e^{-ik\epsilon}}{ik} - \frac{B_1}{ik} + }frac{B_2}{ik} ] = E [\frac{A_1}{ik} - \frac{A_2}{ik} - \frac{A_1}{ik} + \frac{A_2}{ik} + \frac{B_1}{ik} - \frac{B_2}{ik} - \frac{B_1}{ik} + \frac{B_2}{ik}] = 0$$ Beim dritten Term setzt man im Integral von $\-\epsilon$ bis $0$ für $\psi$ die Lösung $\psi_1$ und im Bereich von $0$ bis $\epsilon$ die Lösung für $\psi_2$ ein. \\

Bis hierhin sollte ich die Rechnung verstanden haben; auch wie die drei Terme zu behandeln sind. Aber der Rest der Rechnung ist mir unklar. $r$ scheint mir der Reflexions- und $t$ der Transmissionskoeffizient zu sein, aber gefühlt fallen für mich diese Terme vom Himmel. Mir ist unverständlich, warum der physikalische Ansatz so korrekt ist.

... somit
$$- \frac{\hbar^2}{2m} [\psi' (0^+) - \psi' (0^-)] + \alpha \psi (0) = 0$$ 2 Übergangsbedingungen:
$$I: \psi (0^+) \stackrel{!}{=} \psi (0^-)$$ $$II: \psi' (0^+) - \psi' (0^-) \stackrel{!}{=} \frac{2m \alpha}{\hbar^2} \psi (0)$$ Physikalisch sinnvoller Ansatz:
$$ \psi (x) = \left\{
\begin{cases}
e^{ikx} + r e^{-ikx} & ix < 0 \\
t \cdot e^{ikx} & ix \geq 0 \\
\end{cases}
\right\}$$ $$I: 1 + r = t$$ $$II: ikt - ik + ikr (=t) = (1+r) \frac{2mx}{\hbar^2} \Leftrightarrow ik [(1 + r) \cdot 1 + r] = (1+r) \frac{2m\alpha}{\hbar^2} \Leftrightarrow r [2ik - \frac{2mk}{\hbar^2} = \frac{2m\alpha}{\hbar^2}$$ $$r = \frac{\frac{2m \alpha}{\hbar^2}}{2ik - \frac{2m\alpha}{\hbar^2}} = \frac{1}{-1 + \frac{ik\hbar^2}{m\alpha}} \Rightarrow R = |r|^2 = (\frac{1}{-1+\frac{ik\hbar^2}{m\alpha}}) \cdot (\frac{1}{-1- \frac{ik\hbar^2}{m\alpha}}) \Rightarrow R = \frac{1}{1 + \frac{k^2 \hbar^4}{m^2 \alpha^2}}$$ $$t = 1 + r = 1 + \frac{1}{-1 + \frac{k\hbar^2}{m\alpha}} = \frac{-1 + \frac{ik\hbar^2}{m\alpha}+1}{-1+\frac{ik\hbar^2}{m\alpha}} = \frac{\frac{ik\hbar^2}{m\alpha}}{-1+\frac{ik\hbar^2}{m\alpha}} = \frac{1}{1 - \frac{m\alpha}{ik\hbar^2}} \Rightarrow T = |t|^2 = (\frac{1}{1-\frac{m\alpha}{ik\hbar^2}}) (\frac{1}{1+\frac{m\alpha}{ik\hbar^2}}) \Rightarrow T = \frac{1}{1+ \frac{m^2 \alpha^2}{k^2 \hbar^4}}$$ $$R+T=1$$
Ich wäre für Erklärungen sehr dankbar!

Vielen Dank und viele Grüße

Peter



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-25


Mir sieht das nach einem Ansatz für eine von links kommenden Welle aus.

Das ist der Term $1\cdot\exp(ikx)$.

Diese Welle wird am Delta-Potential teilweise reflektiert und teilweise geht sie durch das Delta-Potential.

Das sind die Terme $r\exp(-ikx)$ (nach links laufende Welle) und $t\exp(ikx)$ (nach rechts laufende Welle).

Ich hoffe das hilt.  



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