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 Induktiver Beweis Randverteilung Galton-Brett |
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kat01
Junior 
Dabei seit: 26.01.2021
Mitteilungen: 5
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Hallo :)
Ich habe Probleme beim Lösen einer Beweis-Aufgabe und die Vorlesungsfolien, sowie eine lange Suche bei google haben mir auch nicht weitergeholfen.
Ich muss für jedes i∈{1, . . . , n} zeigen, dass folgendes gilt:
wobei der Binomialkoeffizient für n,k ∈ N,n ≥ k so definiert ist:
An sich dachte ich, ich hätte induktive Beweise verstanden und ich habe auch schon einige Aufgaben gelöst, aber hier komme ich einfach nicht weiter.
Für den Induktionsanfang habe ich i=1 gesetzt, was mich aber auch nicht wirklich weiterbringt. Wie kann ich an diese Aufgabe herangehen?
Liebe Grüße
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Diophant
Senior 
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-26
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Hallo und willkommen hier im Forum!
Könntest du uns die komplette Aufgabenstellung nennen? Es sieht zwar so aus, als ob es hier um eine Indukton nach n ginge, aber das ist nur geraten: es wird bisher überhaupt nicht klar, worum es geht.
Gruß, Diophant
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kat01
Junior
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26
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Oh, tut mir Leid. Ich dachte das würde reichen.
Die Aufgabenstellung konkret lautet:
Bestimmen Sie die Randverteilungen der Variablen X1,....,Xn, also die Wahrscheinlichkeitsvektoren
für jedes i ∈ {1, . . . , n}, in analytischer Form.
Dazu soll ich zeigen, dass die Formel gilt, welche ganz oben steht. Diese ist ja bereits in analytischer Form und muss "nur noch" bewiesen werden.
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Diophant
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-26
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Hallo,
bitte: die komplette Aufgabenstellung im Originalwortlaut...
Gruß, Diophant
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kat01
Junior
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
jetzt taucht zum ersten Mal der entscheidende Begriff auf, um den es geht: das gute alte Galton-Brett. 👍
Bist du mit der Anordnung des Experiments soweit vertraut?
\({i \choose j}\cdot 2^{-i}\) ist einfach die Wahrscheinlichkeit, dass bei i Stufen eine Kugel im Fach Nummer j landet. Daher geht der Wertevorrat der ZV \(X_i\) von 1 bis i.
Kommst du damit weiter? (Die Induktion läuft dann tatsächlich nach der Variablen \(i\)).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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kat01
Junior
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26
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Danke schonmal dafür!
Ja, das Prinzip vom Galton Brett verstehe ich.
Allerdings ist mir immer noch nicht wirklich klar wie ich jetzt vorgehen muss, um das Ganze induktiv zu beweisen.
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
schreibe doch mal die beiden Wahrscheinlichkeiten, die es im Fall \(i=1\) gibt explizit hin und zeige, dass sie einen gültigen Induktionanfang darstellen.
Jetzt nimmst du an, dass die Kugel in der (i+1). Stufe im Fach Nr. j liegt.
Wenn wir jetzt nur mal die direkt darüberliegende i. Stufe betrachten: dann gibt es genau zwei Möglichkeiten, wie sie dort hingekommen ist.
Die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Möglichkeiten muss man unter Ausnutzung der Induktionsannahme addieren, und dazu braucht man die angegebene Identität (4).
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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kat01
Junior
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26
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Diophant
Senior
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
Jein. Du musst es schon so herum machen: es ist ersteinmal offensichtlich, dass die Kugel gleichwahrscheinlich nach links oder rechts fällt. Also gilt für \(j\in\lbrace 0,1\rbrace\)
\[P\left(X_1=j\right)=\frac{1}{2}={1 \choose 0}\cdot 2^{-1}={1 \choose 1}\cdot 2^{-1}\]
2021-01-26 17:09 - kat01 in Beitrag No. 8 schreibt:
Die IV wäre, dass
für jedes i ∈ {1, . . . , n} gilt
Für den IS habe ich dann:
  
P(X_(i+1) = j) = (i+1;j)2^-(i+1)
Ist das bis dahin richtig?
Das soll wohl
\[P\left(X_{i+1}=j\right)={i+1\choose j}\cdot 2^{-(i+1)}\]
heißen (da hast du vergessen, den Exponenten zu klammern). Das ist schön und gut und richtig. Aber ohne Rechenweg ehrlich gesagt nichts wert. Das soll ja ein Beweis werden...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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