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Universität/Hochschule Induktiver Beweis Randverteilung Galton-Brett
kat01
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-26


Hallo :)
Ich habe Probleme beim Lösen einer Beweis-Aufgabe und die Vorlesungsfolien, sowie eine lange Suche bei google haben mir auch nicht weitergeholfen.

Ich muss für jedes i∈{1, . . . , n} zeigen, dass folgendes gilt:

wobei der Binomialkoeffizient für n,k ∈ N,n ≥ k so definiert ist:


An sich dachte ich, ich hätte induktive Beweise verstanden und ich habe auch schon einige Aufgaben gelöst, aber hier komme ich einfach nicht weiter.
Für den Induktionsanfang habe ich i=1 gesetzt, was mich aber auch nicht wirklich weiterbringt. Wie kann ich an diese Aufgabe herangehen?

Liebe Grüße  



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-26


Hallo und willkommen hier im Forum!

Könntest du uns die komplette Aufgabenstellung nennen? Es sieht zwar so aus, als ob es hier um eine Indukton nach n ginge, aber das ist nur geraten: es wird bisher überhaupt nicht klar, worum es geht.


Gruß, Diophant



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kat01
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Oh, tut mir Leid. Ich dachte das würde reichen.
Die Aufgabenstellung konkret lautet:
Bestimmen Sie die Randverteilungen der Variablen X1,....,Xn, also die Wahrscheinlichkeitsvektoren

für jedes i ∈ {1, . . . , n}, in analytischer Form.
Dazu soll ich zeigen, dass die Formel gilt, welche ganz oben steht. Diese ist ja bereits in analytischer Form und muss "nur noch" bewiesen werden.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-26


Hallo,

bitte: die komplette Aufgabenstellung im Originalwortlaut...


Gruß, Diophant



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kat01
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26





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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

jetzt taucht zum ersten Mal der entscheidende Begriff auf, um den es geht: das gute alte Galton-Brett. 👍

Bist du mit der Anordnung des Experiments soweit vertraut?

\({i \choose j}\cdot 2^{-i}\) ist einfach die Wahrscheinlichkeit, dass bei i Stufen eine Kugel im Fach Nummer j landet. Daher geht der Wertevorrat der ZV \(X_i\) von 1 bis i.

Kommst du damit weiter? (Die Induktion läuft dann tatsächlich nach der Variablen \(i\)).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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kat01
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Danke schonmal dafür!
Ja, das Prinzip vom Galton Brett verstehe ich.
Allerdings ist mir immer noch nicht wirklich klar wie ich jetzt vorgehen muss, um das Ganze induktiv zu beweisen.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

schreibe doch mal die beiden Wahrscheinlichkeiten, die es im Fall \(i=1\) gibt explizit hin und zeige, dass sie einen gültigen Induktionanfang darstellen.

Jetzt nimmst du an, dass die Kugel in der (i+1). Stufe im Fach Nr. j liegt.
Wenn wir jetzt nur mal die direkt darüberliegende i. Stufe betrachten: dann gibt es genau zwei Möglichkeiten, wie sie dort hingekommen ist.

Die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Möglichkeiten muss man unter Ausnutzung der Induktionsannahme addieren, und dazu braucht man die angegebene Identität (4).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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kat01
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-26


Wäre das ein gültiger Induktionsanfang (da 0,5+0,5=1 ist)?
fed-Code einblenden

Die IV wäre, dass

für jedes i ∈ {1, . . . , n} gilt

Für den IS habe ich dann:
fed-Code einblenden

Ist das bis dahin richtig?






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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-01-26 17:09 - kat01 in Beitrag No. 8 schreibt:
Wäre das ein gültiger Induktionsanfang (da 0,5+0,5=1 ist)?
fed-Code einblenden

Jein. Du musst es schon so herum machen: es ist ersteinmal offensichtlich, dass die Kugel gleichwahrscheinlich nach links oder rechts fällt. Also gilt für \(j\in\lbrace 0,1\rbrace\)

\[P\left(X_1=j\right)=\frac{1}{2}={1 \choose 0}\cdot 2^{-1}={1 \choose 1}\cdot 2^{-1}\]
2021-01-26 17:09 - kat01 in Beitrag No. 8 schreibt:
Die IV wäre, dass

für jedes i ∈ {1, . . . , n} gilt

Für den IS habe ich dann:
fed-Code einblenden

Ist das bis dahin richtig?

Das soll wohl

\[P\left(X_{i+1}=j\right)={i+1\choose j}\cdot 2^{-(i+1)}\]
heißen (da hast du vergessen, den Exponenten zu klammern). Das ist schön und gut und richtig. Aber ohne Rechenweg ehrlich gesagt nichts wert. Das soll ja ein Beweis werden...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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