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Analysis » Topologie » Untermannigfaltigkeit
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Universität/Hochschule Untermannigfaltigkeit
mathescience
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-27


Morgen ,

ich versuche eine Aufgabe zu Untermannigfaltigkeit zu lösen, aber leider bin ich da drin überhaupt nicht fit bzw wir behandeln das Thema in Ana2, obwohl dies meistens in Ana 3 vorkommt.
Deswegen habe ich Schwierigkeiten die Aufgaben zu lösen, obwohl ich die Definitionen und Sätze versucht habe 1000 mal zu verstehen(mit Beispielbildern).... Brauche dringend eure Hilfe !

Aufgabe :
Sei f : R → R eine C1-Funktion und Γ der Graph von f.
Sei A = {(x, y)T ∈ R2 | y = 0} die Menge aller Punkte auf der x-Achse.
(a) Zeigen Sie, dass Γ ∪ A im Allgemeinen keine Untermannigfaltigkeit des R2 ist.
(b) Geben Sie eine hinreichende Bedingung in Bezug auf f an, unter der Γ ∪ A eine Unter-
mannigfaltigkeit des R2 ist. Beweisen Sie Ihre Aussage.

Also ich verstehe das so: Ich habe Punkte auf der x-Achse gegeben (da y=0), das heißt eigentlich, dass die x-Achsre nur gegeben ist, warum man y=0 noch mit dazu schreiben muss weiß ich nicht.
Was A ist weiß ich, aber was  Γ weiß ich leider  nicht, ich kann mir da drunter nichts vorstellen sowie die Vereinigung dann....

Brauche wirklich eure Hilfe bin verzweifelt 🤯

Danke im Voraus

Mit freundlichen Grüßen

mathescience



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-27

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Hallo mathescience,

es ist eigentlich gar nicht so wild, vieles von dem, was du schreibst, kennst du eigentlich aus der Schule. Die $x$-Achse besteht aus allen Punkten, deren $y$-Koordinate $0$ ist. Die $x$-Achse ist also die Lösungsmenge der Gleichung $y=0$, deshalb diese Darstellung von $A$.
$\Gamma$ ist der Graph der Funktion $f$, und Funktionsgraphen kennst du: Der Graph einer Funktion ist die Menge aller Punkte, die man bei der typischen graphischen Darstellung einer Funktion markiert. Der Graph der Funktion $f:\mathbb R\to\mathbb R,~x\mapsto x$ ist also beispielsweise die Gerade, welche den ersten und dritten Quadranten halbiert. Allgemein ist der Graph einer Funktion $f:\mathbb R\to\mathbb R$ die Menge $\{(x,f(x))~\vert~x\in\mathbb R\}$. So funktioniert ja die graphische Darstellung einer Funktion: man markiert zu jedem möglichen Element $x$ des Definitionsbereichs den Punkt, dessen $x$-Koordinate gerade $x$ ist, und dessen $y$-Koordinate $f(x)$ ist. Also alle Punkte der Form $(x,f(x))$.
Die Vereinigung $A\cup\Gamma$ ist dann einfach nur die ganz gewöhnliche Vereinigung von Mengen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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mathescience
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27


Okey vielen Dank ! Ich versuche das Ganze nochmal zu verinnerlichen.

Gruß

mathescience



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