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  Kartesisches Produkt, Funktion, Formalität |
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Magma93
Aktiv 
Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 33
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Hallo,
Ich habe noch Probleme zu erkenne, was man darf und was man nicht darf bei der Notation. Im Allgemeinen kann man doch eine
Funktion so darstellen:
\[f: D\rightarrow Z, x \mapsto y \]
Eine Funktion ist eine Abbildung (Werkzeug, Instrument,...), um eine Menge (Definitionsmenge) $D$ in die Menge (Zielmenge) $Z$ abzubilden, und hierbei wird jedem Element $x \in D$ genau ein Element $y \in B$ zugeordnet. Schön und gut.
Manchmal sehe ich auch Notationen, die dann so in etwas aussehen:
\[f: A \times B \rightarrow C, x \mapsto y \]
Das soll irgendwie ein kartesisches Produkt sein.
1. Frage:
Darf ich die Funktion \[f: D\rightarrow Z, x \mapsto y \] auch so darstellen?
\[f: D \times Z \rightarrow C, x \mapsto y \]
Das heißt, dass ich Tupel aus $D$ und $Z$ habe, und diese bilde ich in eine neue Menge $C$ ? Weiß ich leider nicht.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6095
Herkunft: Rosenfeld, BW
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
nein, das geht so nicht. Was manchmal gemacht wird und was du eventuell auch im Sinn hast: man kann eine Funktion als Relation zwischen Elementen aus dem Definitionsbereich und solchen aus der Zielmenge auffassen, und damit als Teilmenge des kartesischen Produkts aus Definitions- und Zielmenge:
\[f\subseteq D\times Z\]
Siehe dazu die verlinkte Passage bei Wikipedia.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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Magma93
Aktiv
Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28
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Hallo Diophant,
danke dir.
Diese Darstellung \(f\subseteq D\times Z\) kannte ich nicht.
Aber okey, ich lasse sie mal kurz bei Seite.
Schau mal hier:
1. Frage:
Da kommt auch dieser Ausdruck \(f: A\times B\rightarrow C\)
Ich kann diesen Ausdruck nicht mit dem hier \(f: D\rightarrow Z \) verstehen. Wo sind hier die Unterschiede? Meint hier dieser Ausdruck dasselbe, wie der andere?
2. Frage:
Kann ich irgendwie aus dem hier \(f: D\rightarrow Z \) genau sowas \(f\subseteq D\times Z\) bekommen? Danke, wenn du helfen kannst.
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Magma93
Aktiv 
Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-28
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Hallo Diophant,
danke dir.
Diese Darstellung \(f\subseteq D\times Z\) kannte ich nicht.
Aber okey, ich lasse sie mal kurz bei Seite.
Schau mal hier:
1. Frage:
Da kommt auch dieser Ausdruck \(f: A\times B\rightarrow C\)
Ich kann diesen Ausdruck nicht mit dem hier \(f: D\rightarrow Z \) verstehen. Wo sind hier die Unterschiede? Meint hier dieser Ausdruck dasselbe, wie der andere?
2. Frage:
Kann ich irgendwie aus dem hier \(f: D\rightarrow Z \) genau sowas \(f: A\times B\rightarrow C\) erhalten?
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1898
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-01-29
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2021-01-28 23:54 - Magma93 in Beitrag No. 2 schreibt:
Da kommt auch dieser Ausdruck \(f: A\times B\rightarrow C\)
Ich kann diesen Ausdruck nicht mit dem hier \(f: D\rightarrow Z \) verstehen.
Es ist $f: A\times B\rightarrow C$ einfach ein Spezialfall von $f: D\rightarrow Z$, der dann vorliegt, wenn $D$ ein Prodult $A\times B$ ist.
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Magma93
Aktiv
Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-29
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Hallo zippy,
danke für die Ausführung.
...wenn $D$ ein Prodult $A\times B$ ist.
Das hat mir geholfen. Nun bräuchte ich ein konkretes rechnerisches Beispiel für \(f: D\rightarrow Z\) und \(f: A \times B \rightarrow Z\)
Ich habe das versucht, kannst du mal schauen, ob es richtig ist?
Meint man also den Unterschied so?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1898
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-01-29
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2021-01-29 09:29 - Magma93 in Beitrag No. 5 schreibt:
Meint man also den Unterschied so?
Nein, im Fall 2) ist $D=A\times B$, d.h. ein $x\in D$ ist ein Paar $x=(x_1,x_2)$ mit $x_1\in A$ und $x_2\in B$ und du könntest eine Funktion z.B. durch $f(x)=x_1\cdot x_2$ definieren.
Dann wäre z.B. $f\bigl((2,3)\bigr)=2\cdot 3=6$.
Üblicherweise schreibt man statt $f\bigl((x_1,x_2)\bigr)$ einfach $f(x_1,x_2)$ und somit statt $f\bigl((x_1,x_2)\bigr)=x_1\cdot x_2$ einfach $f(x_1,x_2)=x_1\cdot x_2$.
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Magma93
Aktiv
Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01
|
Hallo zippy,
vielen Dank für deine Hilfe. Ich konnte dir nicht sofort antworten, weil ich ziemlich beschäftigt gewesen bin.
Genau das, was du da formal angegeben hast, habe ich auch so in meinem konkreten Beispiel gemeint. Vielleicht war es nicht richtig deutlich.
Konkretes Beispiel:
Beispiel 1
Wir haben eine Definitionsmenge $D=\{\mathbb{R}\}$, und eine Zielmenge $Z=\{\mathbb{R}\}$
Dann nehmen wir uns eine Funktion $f$, die eine Beziehung (Relation) zu diesen beiden Mengen herstellt.
Formal:
\[f: D \rightarrow Z , x \mapsto f(x) \]
Das heißt, dass wir hier beliebig viele Operanden miteinander durch die Operatoren (egal welche) verknüpfen können (und nicht nur 2).
Zum Beispiel:
\[f(x) = x \]
\[f(x) = x+3\]
\[f(x) = x+3+4x\]
\[f(x) = x+3-4x \cdot 4 + ...\]
Anders sieht es aus, wenn wir solch eine Darstellung haben:
\[f: A \times B \rightarrow Z\]
Das soll ein Spezialfall sein, wo wir nur einen Operanden haben (Plus, Minus, Mal oder Geteilt), und jeweils zwei Elemente.
Zum Beispiel:
\[f(x_1, x_2) = \underbrace{x}_{x_1 \in A} \cdot \underbrace{2x}_{x_2 \in B}\]
\[f(x_1, x_2) = \underbrace{\sqrt{x}}_{x_1 \in A} + \underbrace{\ln(x)}_{x_2 \in B}\]
usw...
Wir dürfen nicht mehr Operatoren haben, als nur einen. Es soll eben eine zweistellige Verknüpfung damit suggerieren.
Kann ich das so formal für mich verstehen, oder ist mein Gedankengang falsch?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1898
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-02-01
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2021-02-01 08:02 - Magma93 in Beitrag No. 7 schreibt:
\[f(x_1, x_2) = \underbrace{x}_{x_1 \in A} \cdot \underbrace{2x}_{x_2 \in B}\] \[f(x_1, x_2) = \underbrace{\sqrt{x}}_{x_1 \in A} + \underbrace{\ln(x)}_{x_2 \in B}\]
Auf der rechten Seite sollten $x_1$ oder $x_2$ statt $x$ stehen:
\[f(x_1, x_2) = x_1 \cdot 2x_2\qquad
f(x_1, x_2) = \sqrt{\vphantom lx_1}+\ln(x_2)\]
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1185
 | Beitrag No.9, eingetragen 2021-02-01
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
2021-02-01 08:02 - Magma93 in Beitrag No. 7 schreibt:
Wir haben eine Definitionsmenge $D=\{\mathbb{R}\}$, und eine Zielmenge $Z=\{\mathbb{R}\}$
Du meinst $D = \mathbb{R}$ und $Z = \mathbb{R}$.
2021-02-01 08:02 - Magma93 in Beitrag No. 7 schreibt:
Wir dürfen nicht mehr Operatoren haben, als nur einen. Es soll eben eine zweistellige Verknüpfung damit suggerieren.
Vielleicht verstehe ich dich falsch, aber die Funktion hat nichts mit der Anzahl der "Operatoren" zu tun, genauso ginge $f(x_1, x_2) = x_1 + x_2 + x_1 x_2$. Und natürlich muss das keine solche geschlossene Form haben.
Vielmehr ist $f$ selbst der zweistellige Operator.
Beispielsweise ist die gewöhnliche Addition auf $\mathbb{R}$ ein Operator $+: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Suggestiv könnte man also schreiben $+(a,b) := a + b$.
Ein weiteres Beispiel wäre $\max : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, wobei $\max(a,b)$ das Maximum von $a$ und $b$ ist. Hier schreibt man stattdessen oft auch $a \lor b$.
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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei\(\endgroup\)
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Magma93
Aktiv
Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01 11:01
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Hallo Kezer,
danke für die Verbesserungen. Schade, dass zippy mich nicht darauf aufmerksam gemacht hat. Ansonsten wäre ich mit meinen falschen Annahmen weiter durch die Welt gesegelt.
Du meinst $D = \mathbb{R}$ und $Z = \mathbb{R}$.
Genau. Stimmt ja eigentlich. Denn $\mathbb{R}$ ist ja an sich eine Menge aller reellen Zahlen.
genauso ginge $f(x_1, x_2) = x_1 + x_2 + x_1 x_2$. Und natürlich muss das keine solche geschlossene Form haben.
Ich bin nun etwas verwirrt glaube ich. Ich habe ja in Wikipedia folgendes Gelesen:
Deshalb habe ich mir gedacht, wenn $f: A \times B \rightarrow Z$ gelten würde, dann dürfte man wirklich nur einen einzigen Operator (Plus Minus, Mal oder geteilt) haben, der zwei Elemente zusammen verknüpft. Also so:
\[f(x_1,x_2)= x_1+x_2\]
Das hier wäre dann schon falsch, weil hier mehrere Operatoren sind, nach meiner Logik:
\[f(x_1,x_2)= x_1+x_2 + 2x_1 \cdot(4x_2+x_1)+...\]
Da habe ich mich aber geirrt oder?
Wenn ich das verstanden habe, dann würde ich gerne weitere Fragen stellen, wenn es geht.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6095
Herkunft: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-02-01 11:20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
du bringst hier zwei Dinge durheiander: Operatoren und Funktionen. Um letztere geht es doch laut Themenstart hier?
Eine Funktion \(f:\ A\times B\to C\) ist einfach eine Abbildung aus der Menge von Tupeln aus \(A\times B\) in die Menge \(C\). Wie diese Abbildung definiert ist, darüber ist nichts gesagt.
Und sorry, aber:
2021-02-01 11:01 - Magma93 in Beitrag No. 10 schreibt:
Schade, dass zippy mich nicht darauf aufmerksam gemacht hat.
zippy hat dir die jeweils gestellten Fragen präzise beantwortet. Was erwartest du denn?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Magma93
Aktiv
Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01 11:29
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Hallo Diophant,
danke.
Beispiel:
Ist beispielsweise $f(x_1,x_2) = x_1+x_2\cdot(x_2+x_1)$ eine zweistellige Verknüpfung?
Ist beispielsweise $f(x_1,x_2)= x_1 \cdot x_2$ eine zweistellige Verknüpfung?
Liebe Grüße
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6095
Herkunft: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.13, eingetragen 2021-02-01 11:33
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Hallo,
ja, in beiden Fällen.
Gruß, Diophant
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1185
| Beitrag No.14, eingetragen 2021-02-01 12:07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Hi,
du hast "Operand" unterstrichen, damit meint man die Anzahl der Variablen.
2021-02-01 11:29 - Magma93 in Beitrag No. 12 schreibt:
Ist beispielsweise $f(x_1,x_2) = x_1+x_2\cdot(x_2+x_1)$ eine zweistellige Verknüpfung?
Ist beispielsweise $f(x_1,x_2)= x_1 \cdot x_2$ eine zweistellige Verknüpfung?
Nochmal: Operatoren wie "+" sind nur Namen für Funktionen. Genauso kann man z.B. definieren $$f = - \star - : A \times B \to C, \ x_1 \star x_2 := x_1+x_2\cdot(x_2+x_1).$$ D.h. $f(x_1, x_2) = x_1 \star x_2$.
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Magma93
Aktiv
Dabei seit: 20.01.2021
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-01 14:54
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Vielen Dank euch. Jetzt habe ich es vollständig verstanden. Danke vielmals!
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