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Analysis » Stetigkeit » Fortsetzung einer gleichmäßig stetigen Funktion		Druckversion
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Universität/Hochschule Fortsetzung einer gleichmäßig stetigen Funktion
levin_chich
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Dabei seit: 21.01.2021
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-27


Es sei \(f:I_{x_{0}}\longrightarrow\mathbb{R}\) eine gleichmäßig stetige Funktion wobei \(I_{x_{0}}=I\text{ ohne }x_{0}\) und \(I=[a,b]\) mit a<b.
Ich soll nun zeigen, dass es eine stetige Fortsetzung \(F:I\longrightarrow \mathbb{R}\) von \(f\) gibt.

Wenn es so eine stetige Fortsetzung gibt, muss es wegen der Kompaktheit von \(I\) auch gleichmäßig stetig sein. Zudem muss ja \(F(x_{0})=\text{lim}_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\) gelten.
Ich muss ja nun zeigen, dass \(F\) stetig ist.
Hat jemand eine Idee, die mich in die richtige Richtung lenken kann?
Beste Grüße,
Levin

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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11446
Herkunft: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-27


Hallo,
eine Möglichkeit ist, eine Folge xn mit xn<x0 und xn->x0 zu betrachten.
Zeige das f(xn) konvergiert
Mache das Gleiche mit einer Folge, die größer als x0 ist
Zeige dann, daß beide Grenzwerte gleich sind
Gruß Wauzi


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Primzahlen sind auch nur Zahlen

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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9094
Herkunft: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-01-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Vielleicht kann man auch eine beliebige Folge aus \(I_{x_0} \) nehmen, die gegen \( x_0\) konvergiert, und die Cauchy-Bedingung für die Funktionswerte nachrechnen.

Das hätte den Vorteil, dass es sich automatisch auf mehrdimensionale Fälle verallgemeinert: Eine auf \( A\) gleichmäßig stetige Funktion lässt sich stetig nach \( \overline{A}\) fortsetzen.

Viele Grüße

Wally\(\endgroup\)

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levin_chich hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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