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| Autor |
 Basis des Tangentialraums bestimmen |
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mathescience
Aktiv 
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 30
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Hallo Leute,
ich habe versucht eine Aufgabe zu lösen und wollte fragen, ob das richtig ist.
Die Aufgabe lautet :
  
Seien I \subset\ R ein offenes Intervall und f : I -> \IR eine positive C^1-Funktion. Sei weiter M={(x,y,z)^T \el\ I×R^2 |y^2+z^2=(f(x))^2 }.
(b) Sei p = (x0,y0,z0)T ∈ M. Bestimmen Sie eine Basis des Tangentialraums TpM.
Meine Lösung :
T_p M: kern(J_f (p)) = (v\el\ \IR^3 | J_f (p) * v= 0 } =>(2p_1;2p_2) (v_1;v_2) = 2p_1 v_1 +2p_2 v_2 = 0 <=>2p_1 v_1= -2p_2 v_2 <=>p_1 v_1 = -p_2 v_2 =>kern (J_f (p) ) = {t* (-p_2;p2), t\el\ \IR } , wobei p = (x_0 , y_0 , z_0 )^T \el\ M
Ist das denn so richtig, wenn nicht wo habe ich den Fehler gemacht ?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen !
Danke im Voraus
Gruß
mathescience
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 354
 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-27
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Hallo mathescience,
da ist wohl leider einiges durcheinander geraten. \(J_f(p)\) ist für \(p\in M\) gar nicht definiert, \(J_f(x)\) für \(x\in I\) wäre eine \(1\times1\)-Matrix.
Außerdem ist das von Dir angegebene Ergebnis ein eindimensionaler Unterraum des \(\mathbb{R}^2\), Du müsstest aber einen zweidimensionalen Unterraum des \(\mathbb{R}^3\) als Ergebnis erhalten.
Du müsstest wohl eher die Funktion \(g\colon I\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definiert durch \(g(x,y,z)=y^2+z^2-(f(x))^2\) betrachten. Dann ist nämlich \(M=g^{-1}(0)\). Nun musst Du Dir \(J_g(p)\) (den Gradienten) anschauen, es gilt dann \(T_pM=\ker J_g(p)\), siehe
de.wikipedia.org/wiki/Satz_vom_regul%C3%A4ren_Wert
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mathescience
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27
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sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 354
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-27
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Die Frage verstehe ich nicht, das Urbild ist eine Menge und keine Abbildung. Es gilt \[M=\{(x,y,z)\in I\times\mathbb{R}^2\,|\,y^2+z^2=(f(x))^2\}=\{(x,y,z)\in I\times\mathbb{R}^2\,|\,y^2+z^2-(f(x))^2=0\}=\{(x,y,z)\in I\times\mathbb{R}^2\,|\,g(x,y,z)=0\}=g^{-1}(0).\]
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mathescience
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Mitteilungen: 30
|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-27
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Aber wir leite ich dann nach x ab, wenn x garnicht gegeben ist ?
Habe gleich eine Abgabe und sitze schon seit einer Woche an diesen Aufgaben dran.Könntest Du das vllt mal zeigen, das wäre echt hilfreich.
Danke im Voraus!
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Link | | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
sonnenschein96
Senior
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Mitteilungen: 354
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-27
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Was meinst Du damit, dass "\(x\) gar nicht gegeben ist"? \(x,y,z\) sind Variablen und Du musst jetzt \(g\) einfach partiell nach \(x,y,z\) ableiten. Das sollte Dir eigentlich bekannt sein, oder nicht? Du bekommst dann eben \(J_g(p)=(-2f(x_0)f'(x_0), 2y_0, 2z_0)\) für \(p=(x_0, y_0, z_0)\) heraus.
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