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Universität/Hochschule Module über Hauptidealringen
Student10023
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  Themenstart: 2021-01-30

Guten Tag, Ich habe in meiner Algebra Vorlesung folgenden Satz kennengelernt: Sei R ein Hauptidealring und M\subsetequal\ R^m. Dann gibt es Elementarteiler d_1,...,d_m (sodass d_i d_(i+1) teilt), und eine Basis b_1,...,b_m vom R^m, sodass die Vektoren d_1 b_1,....,d_m b_m (i!=0) eine Basis von M bilden. Insbesondere ist also M frei. Folgendes habe ich nun verstanden. In der Situation von Oben, sei f_1,..f_n ein Erzeugendensystem von M. Dann habe ich eine Surjektion von R^n nach M und insbesondere eine Lineare Abbildung von R^n nach R^m. Wir nennen die Darstellende Matrix S. Der Satz sagt nun, dass es Matrizen C und A gibt (der jeweiligen Größe natürlich), sodass ASC eine Matrix von schöner Form ist, d.h sie hat auf der "Diagonalen"(obwohl es keine reguläre Matrix ist) nur die Elementarteiler und sonst gibt es nur 0. Nun habe ich mich ein bisschen an die Lineare Algebra erinnert insbesondere an den Begriff der Äquivalenz von Matritzen. Der Satz von oben sagt ja hauptsächlich, dass jede Matrix über einem Hauptidealring äquivalent ist zu einer Matrix, die auf der Diagonalen nur die Elementarteiler hat. In der Linearen Algebra hatten wir aber gelernt, dass zwei Matritzen genau dann äquivalent sind, wenn sie den selben Rang haben. Insbesondere ist jede Matrix A äquivalent zu einer Matrix, die die Einheitsmatrix der Größe rangA hat und sonst nur Nullen. Damals fanden wir diese Äquivalenzrelation deshalb langweilig und sind über gegangen zu der Ähnlichkeit von Matritzen, was uns zur Jordan-Normalform usw.. führt. Nun gut bei der Linearen Algebra waren wir über einem Körper, hier nur über einem Hauptidealring, aber der Satz, dass zwei Matritzen genau dann äquivalent sind, wenn sie den selben Rang haben müsste stimmen oder ? Somit ist auch hier jede Matrix ähnlich zu einer Matrix von der Form. Wozu dann dieser Satz ? Er besagt die Existenz einer sehr schönen Matrix, aber es gibt eine noch schönere ?? Das kann irgendwie nicht sein. Deshalb frage ich mich wo mein Denkfehler liegt. Danke für die Hilfe im Vorraus.


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-30

Betrachte doch mal $R=\mathbb Z$ und $M=2\,\mathbb Z$. Dann ist $(b_1)=(1)$ eine Basis von $R$ und $(d_1b_1)$ mit $d_1=2$ eine Basis von $M$. Kannst du einen Basis von $R$ angeben, so dass man $d_1=1$ wählen kann? Oder anders formuliert: Kannst du invertierbare $1\times1$-Matrizen $A$ und $C$ mit $(1)=A\,(2)\,C$ angeben und so zeigen, dass die Matrizen $(2)$ und $(1)$ äquivalent sind? --zippy


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Student10023
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-30

Hey das geht natürlich nicht, weil invertierbare Matritzen in Z^1 immer determinante 1 oder -1 haben müssen d.h die einzigen Matritzen die Invertierbar sind sind A= 1 und B= -1, die beide in allen Kombinationen nicht Gleichung erfüllen. Aber in welchem Schritt meiner Ausführungen im Beitrag 1, scheitert es denn ? Scheitert es daran, dass über einem Hauptidealring Zwei Matritzen nicht genau dann äquivalent sind, wenn Sie den gleichen Rang haben ? Die hinrichtigung müsste aber trotzdem stimmen oder ?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-30

\quoteon(2021-01-30 19:20 - Student10023 in Beitrag No. 2) ... wenn Sie den gleichen Rang haben ? \quoteoff Schon der Begriff Rang ist problematisch, denn der ist ja erstmal nur für Vektorräume definiert. Das Bild der $1\times 1$-Matrizen $(1)$ und $(2)$ ist in beiden Fällen ein Modul, der von einer Basis aus einem Element erzeugt wird, aber das Bild von $(1)$ ist größer als das von $(2)$.


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Student10023
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-30

ah ich verstehe glaube ich das Problem. Der Rang einer Matrix ist ja definiert als die Dimension des Bildes, aber eine Dimension gibt es ja bei Modulen überhaupt nicht, da es minimale Erzeugendensysteme geben kann die unterschiedlich lang sind bzw. es gibt unterschiedlich große Base (anders als bei Vektorräumen). z.B ist ja (2,3) ein minimales Erzeugendensystem von Z als Z Modul und linear unabhängig sowieso, aber (1) ist ebenfalls eine basis von Z. Danke für Deine Hilfe !


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