| Autor |
  Rechnen mit komplexen Zahlen |
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EmilMemil
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 |  Themenstart: 2021-02-02
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Hallo,
ich muss den folgenden Ausdruck berechnen:
((1-sqrt(3)i)/2)^90
Dabei soll ich Polarkoordinaten benutzen.
Laut wolfram alpha soll 1 rauskommen.
Was ich bisher berechnent habe:
Polarform: r*e^(i*\phi)
r = sqrt(1+3) = 2
\phi = arctan(sqrt(3)) = 60° ~= 1.05
Wie mach ich weiter?
Danke schonmal
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sarose
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-02
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Die Länge des Zeigers und der Winkel sind leider falsch. Beachte, wo sich die komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene befindet.
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EmilMemil
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02
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die Länge berechnet man doch durch den Pythagoras.
Man geht 1 in die reelle Achse und -sqrt(3) in die komplexe Achse. Daraus ergibt sich doch sqrt(1^2+sqrt(3)^2) ?!
Ah vielleich sollte ich erwähnen, dss ich aus der Ursprungsform die 1/2 rausgezogen habe. Also habe ich zuerst nur 1-sqrt(3)i angeschaut.
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Diophant
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
zusätzlich zum bisher gesagten: es ist keine gute Idee, das Argument komplexer Zahlen in kartesischer Darstellung mit der Arkustangensfunktion zu berechnen. Da muss man nämlich noch die Problematik der Quadranten berücksichtigen. Siehe dazu die arctan2-Funktion.
Nachtrag: der Betrag geht so:
\[r=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\dotsc\]
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Komplexe Zahlen' von Diophant]\(\endgroup\)
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sarose
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-02
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Achso, na das hättest du mal sagen können.
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EmilMemil
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02
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Ok, wenn ich also die 1/2 mit berechne, dann ist
r = 1 und
\phi = 60° ~= 1.047 rad
wie komm ich nun weiter?
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sarose
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-02-02
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Der Winkel ist immer noch falsch. Der Winkel \(\phi\) wird im Gegenuhrzeigersinn von der positiven reellen Achse aus gemessen.
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-02
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Hallo,
dein Argument ist immer noch falsch: die Zahl liegt im vierten Quadranten, nicht im ersten.
Was passiert geometrisch, wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert? Also was passiert konkret mit den Beträgen und den Argumenten dieser beiden Zahlen (kann man der Polar- bzw. der Exponentialform ansehen...)?
Das musst du hier auf die Potenzrechnung übertragen. Das ist ja nichts anderes, als eine Zahl 90-mal mit sich selbst multipliziert.
Auch wäre es schön, wenn du hier über die gegebenen Antworten etwas gründlicher nachdenken und zumindest versuchen könntest, etwas eigenständiger zu arbeiten.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
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EmilMemil
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02
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Ahh stimmt..
Der Winkel müsste also
2 \pi - arcos(1/2) ~= 5.236
sein.
Und dann in die Form eingebracht:
(1*e^(5.236))^90 = e^(5.236*90)
und 5.236 * 90 ~= 471.239
und 471.239 / (2 \pi) = 75
also 75 Umrundungen -> man kommt wieder bei 1 an?
und dann ist e^1 = 1 in der Polarform.
Passt das so?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-02-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
ist das jetzt eine andere Aufgabe???
Das Argument ist hier entweder \(-\frac{\pi}{3}\) oder \(\frac{5\pi}{3}\). Die Logik mit den Drehungen stimmt. Du musst aber schon mit den exakten Winkeln im Bogenmaß rechnen, sofern das möglich ist. Und das ist es hier...
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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sarose
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-02-02
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Warum arccos(1/2)??? Wo hast du denn das her??
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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EmilMemil
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02
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Das arccos(1/2) kommt doch davon, dass ich 1/2 in die Achse der reellen Zahlen gehe und die Hypotenuse 1 ist. Und um phi zu berechnen kann man doch arccos(0.5/1) nutzen. Und das halt noch von 2pi abziehen.
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Diophant
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| Beitrag No.12, eingetragen 2021-02-02
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Hallo,
\quoteon(2021-02-02 18:54 - EmilMemil in Beitrag No. 11)
Das arccos(1/2) kommt doch davon, dass ich 1/2 in die Achse der reellen Zahlen gehe und die Hypotenuse 1 ist. Und um phi zu berechnen kann man doch arccos(0.5/1) nutzen. Und das halt noch von 2pi abziehen.
\quoteoff
Das ist ja richtig, aber: wie kommst du jetzt plötzlich auf 75 Drehungen?
Gruß, Diophant
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sarose
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-02-02
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Also du nimmst dir jetzt ein Blatt Papier und einen Stift. Zeichnest die Gaußsche Zahlenebene und dann die Komplexe Zahl als Zeiger. Wenn du die parallele zur imaginären Achse durch die Komplexe Zahl zeichnest, dann entsteht ein Dreieck. Genauer gesagt ein rechtwinkliges Dreieck. Du interessierst dich für den Winkel beim Schnittpunkt der reellen Achse und der imaginären Achse. Wie kannst du diesen Winkel im rechtwinkligen Dreieck berechnen??
So das hätten wir jetzt also geschafft. Nun geht es darum, zu sagen welcher Winkel zwischen der reellen positiven reellen Achse und dem Zeiger ist. Dabei müssen wir den Winkel im Gegenuhrzeigersinn rechnen.
Den Winkel können wir jetzt leicht angegeben, wir haben ja schon den Hilfswinkel im Dreieck berechnet.
Hast Recht...ich mache es nur immer auf diesem Weg und dann stolpere ich...
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
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sarose
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| Beitrag No.14, eingetragen 2021-02-02
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So, wir haben ja nun die kartesische Form in die Exponentialform umgewandelt. Den Winkel in Vielfache von \(pi\) angeben. Und jetzt geht es kurz zur Rechnung mit Potenzen. Über den Umweg der trigonometrischen Form der komplexen Zahl, erhalten wir dann wieder die kartesische Form. In der trigonometrischen Form kann man ganz super die Symmetrieeigenschaften von Sinus und Kosinus nutzen.
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Diophant
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-02-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmal,
ich habe jetzt die Idee hinter dem Beitrag #8 verstanden. Das ist tatsächlich richtig (aber katastrophal notiert).
Es ist
\[\arg\left(\frac{1}{2}-i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\pi-\arccos\frac{1}{2}=\frac{5\pi}{3}\]
und wie schon bestätigt
\[\on{abs}\left(\frac{1}{2}-i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1\]
Also ist
\[\ba
\left(\frac{1}{2}-i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{90}&=\left(e^{i\cdot 5/3\cdot\pi}\right)^{90}\\
\\
&=e^{i\cdot 5/3\cdot\pi\cdot 90}\\
\\
&=e^{i\cdot 150\pi}\\
\\
&=e^{i\cdot 75\cdot 2\pi}\\
\\
&=1
\ea\]
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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EmilMemil
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-02
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Danke für eure Hilfe und Gedult,
ich denke ich habs jetzt verstanden. Ich habe halt vergessen, dass man den winkel im Gegenuhrzeigersinn misst un ich bin nicht darauf gekommen, dass der Winkel auch als 5*pi/3 angegeben werden kann.
Wenn man dann r und phi in die Form einsetzt erhält man:
(1*e^((5*\pi)/(3)*i))^90
Und 90*(5\pi)/3 = 150 \pi .
somit hat man:
e^(150\pi*i)
Und wenn man das wieder in Koordinatenform umformt erhält man:
cos(150\pi) + i*sin(150\pi) = 1 + i*0 = 1
Danke nochmal für die Hilfe :)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]
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