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| Autor |
 Konvergenz auf N |
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Honhans
Junior 
Dabei seit: 05.02.2021
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2021-02-05
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Hallo liebe Community,
ich muss für die Uni ein maßtheoretisches Beispiel ausarbeiten und die Fragestellung kommt mir irgendwie ungenau bzw trivial vor.
Sie lautet:
Es sei Ω = N, S = 2$^N$ und µ(A) = |A|. Wann konvergiert die Folge fn in
(Ω, S, µ)
1. fast überall (punktweise)
2. fast gleichmäßig
3. im Maß?
fast gleichmäßig haben wir so definiert:
Die Folge fn von messbaren reellwertigen Funktionen heißt µ-fast gleichmäßig konvergent,
wenn es zu jedem e > 0 eine Menge Ae mit µ(Ae) < e existiert, sodass die Folge fn auf AC gleichmäßig konvergiert.
Meine Überlegungen sind die folgenden:
Da die einzige Nullmenge auf N mit Zählmaß die leere Menge ist, muss die Funktionenfolge doch auf ganz N punktweise (1.) bzw gleichmäßig (2.) konvergieren? Übersehe ich hier etwas?
Für die Konvergenz im Maß muss der damit der Limes 0 wird, tatsächlich aber einem gewissen n 0 angenommen werden. Also muss wieder auf ganz N |fn(x) - f(x)| < e werden für jedes beliebige e. Also bräuchte man erneut gleichmäßige Konvergenz auf ganz N.
Mir kommt das irgendwie zu einfach vor. Oder ich interpretiere die Angabe falsch?
Hat jemand vielleicht eine Idee was gemeint sein könnte, oder kann mir sagen ob meine Überlegungen sinnvoll sind?
lg
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 Profil
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Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2010
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-05
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Hallo Honhans und Willkommen.
Ja, deine Überlegungen sollten alle richtig sein
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Honhans
Junior
Dabei seit: 05.02.2021
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-05
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Danke für die schnelle Antwort.
Denkst du gibt es sonst noch irgendwas worauf er hinaus wollen könnte?
Mir erscheint das irgendwie zu einfach. 😄
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Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2010
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-05
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Hmm, ich schätze, dass du genau das feststellen solltest, was du auch festgestellt hast.
1) ist äquivalent zur (überall) punktweisen Konvergenz und
2) und 3) sind äquivalent zur gleichmäßigen Konvergenz
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| Honhans hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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