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  Dreiecksproblem |
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ErwinAusB
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 08.02.2021
Mitteilungen: 31
Wohnort: Niedersachsen
 |  Themenstart: 2021-02-08
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Die Seitenhalbierende eines Dreiecks und die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels schneiden sich auf dem Umkreis. (siehe Bild)
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viertel
Senior 
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27787
Wohnort: Hessen
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-08
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Hi ErwinAusB
Willkommen auf dem Planeten
Der Satz stimmt nicht👎
Korrekt wäre:
Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite und die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels schneiden sich auf dem Umkreis.
Ich vermute mal, du möchtest den Satz beweisen.
Was, außer dem (fehlenden) Bild hast du dir denn schon dazu überlegt?
Wobei ich auf das Bild gespannt bin, ob es den falschen Satz zeigt oder den korrekten🤫
Gruß vom ¼
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ErwinAusB
Wenig Aktiv
Dabei seit: 08.02.2021
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Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-08
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Klar, Schreibfehler.
In der Tat fehlt mir eine Beweisidee.
Ich weiß nicht, wo das Bild geblieben ist.
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
Hi,
fange so an: sei $X$ der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit dem Umkreis. Beweise, dass $X$ auf der Winkelhalbierenden liegt.\(\endgroup\)
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ErwinAusB
Wenig Aktiv
Dabei seit: 08.02.2021
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Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-08
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Das ist ein gute Idee!!!
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/images/forum/subject/shocked.gif
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8388
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-08
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\quoteon(2021-02-08 14:21 - ErwinAusB in Beitrag No. 2)
Ich weiß nicht, wo das Bild geblieben ist.
\quoteoff
Mit "Bild hochladen" kannst du ein Bild hochladen. Den Link, der dir dann erzeugt wird, musst du in den Thread kopieren.
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ErwinAusB
Wenig Aktiv
Dabei seit: 08.02.2021
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Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-08
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https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54262_Dreieck.png
Hier ist das Bild zu finden. Leider weiß ich inhaltlich noch nicht weiter.
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-02-08
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Vielleicht solltest du damit beginnen, eine übersichtlichere Skizze zu zeichnen. Es ist nicht notwendig alle drei Geradenpaare aufzuzeichnen.
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ErwinAusB
Wenig Aktiv
Dabei seit: 08.02.2021
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Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-08
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Ist das wirklich das Problem?
Aber bitte https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/images/forum/subject/rolleyes.gif
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54262_Dreieck2.png
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4530
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-02-08
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was ist schon ein problem? und wenn ja aus welchen gründen? schönheit? einfachkeit ? kommunikation?
zeichnen kannst du ganz gut, die aufgabe finde ich schwer, sie zielt auf einen satz ab und woher soll man den nur erraten?
aber so könnte es gehen, das raten:
-dreh die zeichnung bis die mittelsenkrechte senkrecht steht
-gib ihr eine eigene farbe, (der mittelsenkrechten) nur so zum kommunizieren
-verkleiner die zeichnung aus weltallspeziefischen hygienegründen (weniger datenmüll)
-schneid sie aus ästhetischen gründen zu nem quadrat
-und danach aus assoziativen gründen noch ne weltkugel dahinter, nebst weltall
- jetzt sieht es schon prima aus, oder?
-als nächstes verschiebst du die obere ecke, könnte A sein, auf ne andere uhrzeit, sagen wir zehn uhr (also wenns ne analoge uhr wäre) oder sagen wir new york und nennst diese ecke A´ , now york ist gar nicht wichtig panama oder mumbai tun es genauso
im dreieck B/C/A´ zeichnest du wieder deine beiden massgeblichen linien ein die grüne und die rote
- und beschreib in "worten" wo sie sich schneiden, also wo auf der erdkugel...
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kugel.png
ick bin gespannt ob deine antwort mir verständlich ist... also
haribo
- wenn du magst denk über die winkel der dreiecke beiA,A´, A´´ usw nach
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
| Beitrag No.10, eingetragen 2021-02-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
@haribo Ich weiß nicht, was du mit deinem Beitrag sagen möchtest. Es geht hier darum, den Südpolsatz zu beweisen, nicht anzuwenden.
@ErwinAusB Ja, natürlich ist das das erste Problem. Die erste Aufgabe in der Geometrie ist es eine übersichtliche Skizze zu zeichnen - je besser man sich in der Zeichnung zurecht findet, desto wahrscheinlicher ist es, einen sinnvollen Ansatz zu finden.
Es fehlt bisher aber noch der eigene Input von dir. Ich habe dir ja schon gesagt, wie man beginnt.
Wie immer in der Mathematik, hilft es nun, sich aufzuschreiben, was eigentlich zu zeigen ist. Was muss man beweisen, um zu sehen, dass $X$ (Bezeichnung aus Beitrag No. 3) auf der Winkelhalbierenden liegt?\(\endgroup\)
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4530
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-02-08
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sorry kezer, ich wollte dir nicht dazwischenfunken
nach deiner signatur soll man aber möglichst viel ausprobieren bis man ein master wird, das sehe ich genauso, drum würde ich eben erstmal mehrere dreiecke ausprobieren, wie beschrieben... und das finde ich in der ausrichtung mittelsenkrechte senkrecht am einfachsten... aber viele köche verderben den brei, also verbleibe ich besser im stillen
oder meinst du ick soll meinen beitrag besser löschen?
also
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
| Beitrag No.12, eingetragen 2021-02-08
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Sorry, das war nicht so gemeint, ich habe nur nicht ganz verstanden, was du sagen wolltest. Dein Bild ist jedenfalls sehr schön 👍
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Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1325
| Beitrag No.13, eingetragen 2021-02-08
|
$
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\hc}{4.2} %
\pgfmathsetmacro{\sc}{4.4} %
\pgfmathsetmacro{\wc}{4.3} %
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.9} %
\pgfmathsetmacro{\b}{4.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{6.6} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
% Winkelhalbierende
\pgfmathsetmacro{\wa}{sqrt(\b*\c*(1-\a^2/(\b+\c)^2))}
\pgfmathsetmacro{\wb}{sqrt(\a*\c*(1-\b^2/(\a+\c)^2))}
\pgfmathsetmacro{\wc}{sqrt(\a*\b*(1-\c^2/(\a+\b)^2))}
% Mittelsenkrechte
\pgfmathsetmacro{\R}{\a/(2*sin(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\ma}{\R*abs(cos(\Alpha))} %
\pgfmathsetmacro{\mc}{\R*abs(cos(\Gamma))} %
\pgfmathsetmacro{\mb}{\R*abs(cos(\Beta))} %
% Verlängerungsfaktor
\pgfmathsetmacro{\v}{0.333}
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[label=-135:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=0:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[thick, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
% Höhe
\path[thick] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[label=] (Hc);
%\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
%draw, "$\cdot$"
%] {angle =C--Hc--A};
% Seitenhalbierende
\draw[thick] (C) -- ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[label=45:$M_c$] (Mc);
% Annotationen - Dreieck
% Umkreis
\path[] (Mc) -- +(0,\mc) coordinate[label=45:$U$](U);
\draw[local bounding box=umkreis] (U) circle[radius=\R];
% Mittelsenkrechte
% mc
\draw[densely dashed] (Mc) -- +(0,\R+\mc+\v);
\draw[densely dashed] (Mc) -- +(0,-\R+\mc-\v);
% mb
\path[] (U) -- ($(A)!(U)!(C)$) coordinate[label=left:$M_b$] (Mb);
\pgfmathsetlengthmacro\m{(\R+\v)*1cm}
\draw[densely dashed] (U) -- ($(U)!\m!(Mb)$);
\draw[densely dashed] (U) -- ($(U)!-\m!(Mb)$);
% Südpol
\draw[] (Mc) -- +(0,-\R+\mc) coordinate[label=-45:$S_c$](S);
% Winkelhalbierende
%\draw[] (A) -- (0.5*\Alpha:\wa) coordinate[label=$W_\alpha$](Wa);
%\draw[] (B) -- +(\Alpha+\Gamma+0.5*\Beta:\wb) coordinate[label=$W_\beta$](Wb);
\draw[thick] (C) -- +(-\Beta-0.5*\Gamma:\wc) coordinate[label=135:$W_\gamma$](Wc);
% Südpolsatz
\draw[] (Wc) -- (S);
\draw[] (A) -- (S);
\draw[] (B) -- (S);
% Rechte Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$"
] {angle =A--Mc--S};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$"
] {angle =S--Mc--B};
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw, "$\cdot$"
] {angle =A--Mb--U};
% Halbe Winkel
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.6,
draw, "$\frac\gamma2$", red
] {angle =A--C--Wc};
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.6,
draw, "$\frac\gamma2$", red
] {angle =Wc--C--B};
%%% Punkte
\foreach \P in {Wc,Mc, Mb, U, S}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
%% Annotation - Text
%\node[anchor=north west, align=left, draw=none,
%text width=2*\R cm, yshift=-4mm] (text) at (umkreis.south west){
%};
%% Annotationen - Rechnung
%\node[anchor=north west, align=left,
%draw, fill=lightgray!50,
%yshift=-4mm,
%] at (text.south west) {
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm} & \\
%b = \b \text{ cm} & \\
%c = \c \text{ cm} & \\
%\alpha = \Alpha^\circ & \\
%\beta = \Beta^\circ & \\
%\gamma = \Gamma^\circ & \\
%R=\R \\
%m_a=\ma \\
%m_b=\mb \\
%m_c=\mc \\
%w_\alpha=\wa \\
%w_\beta=\wb \\
%w_\gamma=\wc \\
%%\multicolumn{2}{l}{aaaa} \\
%\end{array}$
%};
\end{tikzpicture}
$
Satz (Südpolsatz): Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite und die Winkelhabierende ihrer gegenüberliegenden Ecke schneiden sich auf dem Umkreis im selben Punk (dieser Punkt wird Südpol genannt).
Beweis: Sei $M_c$ die Seitenmitte der Seite $|AB|=c$. Die Mittelsenkrechte auf $c$ schneide den Umkreis im Punkte $S_c$. Dann haben die Dreiecke $A S_c M_c$ und $B M_c S_c$ zwei gleiche Strecken $|AM_c|=|BM_c|$ und $|S_c M_c|$ sowie jeweils einen dazwischenliegenden rechten Winkel, womit auch die Strecken $|AS_c|$ und $|BS_c|$ gleich sein müssen: $|AS_c| = |BS_c|$.
Für die Strecke $|CS_c|$ gilt nach dem Umfangswinkelsatz, dass über gleichen Sehnen ($|AS_c|$ und $|BS_c|$) gleiche Winkel liegen müssen, also muss $|CS_c|$ die Winkelhalbierende von $\gamma$ sein. $\square$
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
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ErwinAusB
Wenig Aktiv
Dabei seit: 08.02.2021
Mitteilungen: 31
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-08
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Danke - eben bin ich selber auf den Gedanken gekommen. Den Begriff "Südpolsatz" kannte ich noch nicht.
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ErwinAusB hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
ErwinAusB hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | ErwinAusB wird per Mail über neue Antworten informiert. |
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