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  Existenz eines Unterraums des Kerns von f, wenn f(U_1)=f(U_2) |
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Schnubelub
Aktiv 
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 112
 |  Themenstart: 2021-02-10
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Hallo,
ich bereite mich gerade auf eine Überprüfung an der Uni für morgen vor und sollte dafür folgende Aufgabe lösen.
Sei f: V->W linear. Beweise: Haben zwei Unterräume U_1, U_2 von V mit U_1\subsetequal\ U_2 unter f dasselbe Bild, so existiert ein Unterraum T\subsetequal\ kerf mit T\oplus\ U_1=U_2
Mein Beweis sieht wie folgt aus:
Sei B Basis von U_1 und sei B' so gewählt, dass B\union\ B' Basis von U_2 ist.
Definiere T:=[B'].
Da {0}=[B]\cut\ [B']=U_1\cut\ T, ist die Summe T+U_1 direkt.
Nun fehlt noch zu zeigen, dass T\subsetequal\ kerf.
Sei x\el\ U_2 beliebig, dann ist x eindeutig darstellbar als x=u+t wobei u\el\ U_1 und t\el\ T. Da nach Voraussetzung f(U_1)=f(U_2) gilt, folgt
f(x)\el\ f(U_2) => f(x)=f(u+t)\el\ f(U_1) => f(u)+f(t)\el\ f(U_1)
Da f(t)\notel\ f(U_1) und f(U_1) als Unterraum abgeschlossen ist, muss f(t)=0 gelten. Also ist t\el\ kerf.
Ich bin mit dem Beweis grundsätzlich zufrieden, da der Beweis meiner Meinung nach aber nicht trivial ist und die Überprüfung morgen für mich wirklich wichtig ist, wollte ich nachfragen, ob jmd von euch vielleicht noch einen Fehler sieht bzw. etwas sieht wo ich vielleicht noch nachbessern kann.
Bin über jegliches Feedback dankbar! LG
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sonnenschein96
Senior 
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 705
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-11
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Hallo Schnubelub,
der Beweis stimmt denke ich so leider nicht. Wegen \(t\in T\subseteq U_2\) ist \(f(t)\in f(U_2)=f(U_1)\) und damit ist die letzte Zeile nicht schlüssig.
Tatsächlich wird Deine Konstruktion denke ich im Allgemeinen auch nicht funktionieren: Betrachte \(f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definiert durch \(f(x,y)=x\). Sei \(U_1=\operatorname{span}\{e_1\}\) und \(U_2=\mathbb{R}^2\). Dann ist \(U_1\subseteq U_2\) und \(f(U_1)=f(U_2)=\mathbb{R}\). Sei weiter \(B=\{e_1\}\) und \(B'=\{e_1+e_2\}\). Dann ist \(T=\operatorname{span}\{e_1+e_2\}\nsubseteq\ker f=\operatorname{span}\{e_2\}\).
Das Problem liegt wohl darin, dass Du bei der Konstruktion von \(B'\) einfach irgendeine Basis genommen hast, um \(B\) zu einer Basis von \(U_2\) zu ergänzen und dabei gar nicht auf \(f\) eingegangen bist.
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Schnubelub
Aktiv
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 112
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-11
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Danke für deine Antwort, du hast Recht. Jetzt bin ich leider ein bisschen im Stress^^
Wenn ich bei der Wahl von B' festlege, dass f(B')=0 sein muss, dann sollte es klappen, oder?
Jetzt muss man nur noch zeigen, dass es so ein B' gibt. Hättest du da einen Ansatz für mich?
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3781
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-11
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
sei $u_1,\ldots, u_m$ eine beliebige Basis von $U_1$. Ergänze diese zu einer Basis $u_1,\ldots, u_m, v_1,\ldots, v_n$ von $U_2$.
Falls $f(v_i)=0$ für jedes $i$ gälte, wie könnte man dann $T$ definieren?
Nun muss aber nicht zwingend $f(v_i)=0$ gelten, die Basis muss also noch angepasst werden zu einer Basis $u_1,\ldots, u_m, v_1',\ldots, v_n'$ von $U_2$ mit $f(v_i')=0$.
Benutze dazu die Voraussetzung $f(v_i) \in f(U_2) = f(U_1)$.
\(\endgroup\)
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Schnubelub
Aktiv
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 112
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-11
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Danke Nuramon für deine Antwort. Ich habe das Beispiel bereits mit einem ganz ähnlichen Ansatz lösen können!
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8454
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-11
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\quoteon(2021-02-11 12:15 - Nuramon in Beitrag No. 3)
sei $u_1,\ldots, u_m$ eine beliebige Basis von $U_1$. Ergänze diese zu einer Basis $u_1,\ldots, u_m, v_1,\ldots, v_n$ von $U_2$.
\quoteoff
Das ganze funktioniert anscheinend auch für nicht-endlichdimensionale VR. Ich frage mich allerdings, ob es einen Beweis gibt, der ohne Basen auskommt.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3781
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-02-11
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
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\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Man kann zumindest noch besser verstecken, dass man Basen benötigt:
Die Einschränkung von $f$ auf $U_1\to f(U_1)$ ist surjektiv. Also gibt es eine lineare Abbildung $g:f(U_1)\to U_1$ mit $f\circ g = \id_{f(U_1)}$.
Sei nun $T'$ ein beliebiger Komplementärraum von $U_1$ in $U_2$, also $U_2 = U_1\oplus T'$. Der Unterraum $T:=\{t-(g\circ f)(t)\in V \mid t\in T'\}$ leistet dann das gewünschte.\(\endgroup\)
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Schnubelub
Aktiv 
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 112
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10
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Hallo Nuramon,
ich bin gerade wieder zufällig auf diesem Eintrag von mir gestoßen und bin mir nun doch nicht mehr sicher ob ich das richtig verstanden habe.
Kannst du vllt noch einmal verdeutlichen wie genau man diese v' wählen muss?
\quoteon
Nun muss aber nicht zwingend $f(v_i)=0$ gelten, die Basis muss also noch angepasst werden zu einer Basis $u_1,\ldots, u_m, v_1',\ldots, v_n'$ von $U_2$ mit $f(v_i')=0$.
Benutze dazu die Voraussetzung $f(v_i) \in f(U_2) = f(U_1)$.
\quoteoff
Danke dir und LG
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Schnubelub
Aktiv
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 112
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10
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stimmt folgender Ansatz?
\exists\ w\el\ f(U_2): f(v_i)=w!=0
Laut Voraussetzung existiert ein u_i\el\ U_1: f(u_i)=w
Also gilt f(v_i)=f(u_i)=w =>f(v_i-u_i)=0=>v_i-u_i\el\ kerf
Jetzt definiert man die v_i ':=v_i-u_i wie oben.
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3781
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-10
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Du hast es etwas seltsam aufgeschrieben ($u_i$ hat bereits eine andere Bedeutung und wozu brauchst du $w$?), aber ja so geht es.
Du musst natürlich noch zeigen, das $u_1,\ldots, u_m, v_1',\ldots, v_n'$ eine Basis von $U_2$ ist.\(\endgroup\)
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Schnubelub
Aktiv
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 112
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10
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Die Wahl der u_i ist natürlich schrecklich, da du ja in deinem Beitrag schon verwendet hast. Danke für deine Hilfe!!
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