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Mechanik » Theoretische Mechanik » Berechnung von Zeitableitung einer Hamilton-Funktion
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Universität/Hochschule Berechnung von Zeitableitung einer Hamilton-Funktion
Mandacus
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Mitteilungen: 210
  Themenstart: 2021-02-14

Hallo, ich habe leider ein Problem bei der Lösung zu der folgenden Aufgabe einen Fehler in meiner Rechnung zu finden. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/46688_Transformation.jpg Da das System einen Freiheitsgrad hat, habe ich eine generalisierte Koordinate $q=x$. Es folgt für die Euler-Lagrange-Gleichung $$ 0=\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} =(\alpha \ddot{x} - \alpha \dot{x} + \beta x) e^{- \gamma t} $$ was an die Bewegungsgleichung eines harm. Oszillators erinnert. Der generalisierte Impuls lautet $$ p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} =\alpha \dot{q} e^{- \gamma t} =\alpha \dot{x} e^{- \gamma t}. $$ b) Für die Hamilton-Funktion erhalte ich, wenn ich die Geschwindigkeit über den Impuls ausdrücke $$ H=p \dot{q} - L =\frac{p^2}{\alpha} e^{\gamma t}-\frac{1}{2} (\alpha \dot{x}^2 - \beta x^2) e^{- \gamma t}. $$ c) Für die hamiltonschen Gleichungen habe ich $$ \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=2 \frac{p}{\alpha e^{-\gamma t}} $$ und $$ \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}=- \beta x e^{- \gamma t}. $$ Mein Problem liegt nun bei der totalen Zeitableitung $$ \frac{dH}{dt} =\frac{2p \dot{p}}{\alpha e^{- \gamma t}}+\frac{p^2}{\alpha} \gamma e^{\gamma t} +(\alpha \dot{x} \ddot{x} - \beta x \dot{x}) e^{-\gamma t} -\frac{1}{2} (\alpha \dot{x}^2 - \beta x^2) \gamma e^{- \gamma t} $$ Das Problem ist, dass die totale Zeitableitung die Form $$ \frac{dH}{dt}=\dot{q} \dot{p} - \dot{p} \dot{q}+\frac{\partial H}{\partial t} =\frac{\partial H}{\partial t} =-\frac{\partial L}{\partial t} $$ annehmen muss. Ich habe hier aber $$ \frac{2p \dot{p}}{\alpha e^{- \gamma t}}+\frac{p^2}{\alpha} \gamma e^{\gamma t} =-\dot{q} \dot{p} + \dot{q} p $$ weshalb ich davon ausgehe, dass ich hier einen Fehler gemacht habe. Ich kann diesen aber leider nicht finden.


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MontyPythagoras
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-14

Hallo Mandacus, $$L(x,\dot x,t)=\frac12(\alpha\dot x^2-\beta x^2)e^{-\gamma t}$$$$\frac{\partial}{\partial \dot x}L=\alpha\dot x\;e^{-\gamma t}$$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial}{\partial \dot x}L=\alpha\ddot x\;e^{-\gamma t}-\alpha\gamma\dot x\;e^{-\gamma t}$$In Deiner ersten Zeile fehlt dir ein $\gamma$ vor dem $\dot x$. Weiter: $$p=\alpha \dot{x} e^{- \gamma t}$$$$p\dot q=\alpha \dot{x}^2 e^{- \gamma t}$$ $$H=\frac{1}{2} (\alpha \dot{x}^2 + \beta x^2) e^{- \gamma t}=\frac{1}{2} \left(\frac{p^2}\alpha e^{2 \gamma t} + \beta x^2\right) e^{- \gamma t}$$ $$H(p,q,t)=\frac{p^2}{2\alpha} e^{\gamma t} + \frac12\beta q^2e^{- \gamma t}$$ $$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{\alpha}e^{\gamma t}$$ Weiter habe ich noch nicht nachgerechnet. Ciao, Thomas


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