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Funktionentheorie » Integration » (Komplexe) Integration von cos(x²)
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Universität/Hochschule (Komplexe) Integration von cos(x²)
Pter87
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  Themenstart: 2021-02-17

Hallo, ich habe gerade paar Probleme bei einer Übungsaufgabe aus meinem Funktionentheorie-Kurs. Ich soll das Integral $\int_{0}^{\infty}cos(x^2)dx$ berechnen und darf verwenden, dass das uneigentliche Integral von $-\infty$ bis $\infty$ von $e^{-\frac{1}{2}x^2}$, $\sqrt{2\pi}$ ist. Leider komme ich nicht wirklich dazu den Hinweis irgendwo zu verwenden. Ich habe folgendes versucht: Betrachte die geschlossene Kurve $\gamma$(geschlossener Halbkreis) bestehend aus $[r,-r]$ und $re^{it},\;t\in(0,\pi)$. $cos(z^2)$ ist als Komposition holomorpher Funktionen wieder holomorph auf $\mathbb{C}$. Damit kann ich ja mit dem Cauchyschen Integralsatz folgern: \[ 0 = \int_{\gamma}cos(z^2)dz = \int_{-r}^r cos(x^2)dx+ \int_0^{\pi}cos(re^{2it})ire^{it}dt \] Damit folgt: \[ \int_{-r}^r cos(x^2)dx = -\int_0^{\pi}cos(re^{2it})ire^{it}dt \] Beim rechten Integral habe ich Probleme... Ich hatte vor dann mit $r\to \infty$ das Integral $\int_{-\infty}^{\infty} cos(x^2)dx$ zu berechnen und dann einfach zu halbieren, da $x^2$ ja eine gerade Funktion ist. Ich weiß nicht ob der Ansatz grundsätzlich falsch ist oder einfach viel zu aufwendig.


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-17

Hallo, ich glaube, es ist besser $f(z)=e^{iz^2}$ zu integrieren. Danach kannst du die Realteile vergleichen.


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Pter87
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19

Bevor ich mit meiner Antwort anfange wollte ich nur nochmal erwähnen, dass es reicht nur zu zeigen, dass dieses Integral konvergiert. Ich muss es nicht explizit berechnen. Hatte das anfangs übersehen. Also ich hab es mal versucht mit $e^{iz^2}$, allerdings hatte ich Probleme die einzelnen Integrale auszuwerten, wenn ich über den Halbkreis integriere, deswegen habe ich es mal über das folgende Dreieck versucht: $0 \to r+ri \to r \to 0$. Damit habe ich drei Kurven: $\gamma_1(t) = t+ti,\;t\in[0,r],\quad \gamma_2(t) = r+ir(1-t),\;t\in[0,1]\quad, \gamma_3(t) = (r-t),\;t\in[0,r]$ Wegen $\int_0^re^{ix^2}dx = \int_0^rcos(x^2)dx - i\int_0^rsin(x^2)dx$ reicht ja für die Existenz von $\int_0^{\infty}cos(x^2)dx$ die Existenz von $\int_0^{\infty}e^{ix^2}dx$. Es folgt dann: \[ \int_{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3}e^{iz^2}dz = -\int_0^re^{ix^2}dx+ \int_{\gamma_1}e^{iz^2}dz + \int_{\gamma_2}e^{iz^2}dz \] \[ \Rightarrow \int_0^re^{ix^2}dx = \int_{\gamma_1}e^{iz^2}dz + \int_{\gamma_2}e^{iz^2}dz \] Dann bekomme ich bei den Integralen folgendes raus: \[ \int_{\gamma_1}e^{iz^2} = \int_0^re^{i(t+ti)^2}(1+i)dt = (1+i)\int_0^re^{-2t^2} dt = \frac{1+i}{2}\int_0^{2r}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx \] Ich weiß nun, dass $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx = \sqrt{2\pi}$ und ich würde jetzt aufgrunddessen, dass $e^{-\frac{1}{2}x^2}$ eine gerade Funktion ist, folgern: \[ \lim_{r\to\infty} \frac{1+i}{2}\int_0^{2r}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx = \frac{\sqrt{2\pi}+i\sqrt{2\pi}}{4} \] Jetzt zum Integral bezüglich $\gamma_2$. Da habe ich bisher folgendes, hoffentlich richtig, ausgerechnet: \[ \int_{\gamma_2}e^{iz^2}dz = \int_0^1e^{i(r+ir(1-t))^2}(-ir)dt = -ir \int_0^1 e^{2r^2(t-1)}\cdot e^{i(t^2-2t)r^2}dt = ? \] Weiter komme ich dann irgendwie nicht...


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ochen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-19

Hallo, ja, das sieht doch gut aus. Ich hätte gedacht, dass es einfacher ist über ein Rechteck zu integrieren, aber das ist egal. \quoteon(2021-02-19 12:06 - Pter87 in Beitrag No. 2) \[ \int_{\gamma_2}e^{iz^2}dz = \int_0^1e^{i(r+ir(1-t))^2}(-ir)dt = -ir \int_0^1 e^{2r^2(t-1)}\cdot e^{i(t^2-2t)r^2}dt = ? \] Weiter komme ich dann irgendwie nicht... \quoteoff Im Prinzip könntest du alles auf einen Exponenten schreiben und dann im Exponenten quadratische Ergänzung machen, dann substituieren und wieder deine Formel zur Integration von $e^{-\frac 12x^2}$ oder $e^{x}$ nutzen. Wenn du gar nicht am Integral selbst interessiert bist, bietet es sich an, vorher abzuschätzen. \[ \int_0^\infty e^{-\frac 12x^2}dx < \int_0^2 e^{-\frac 12x^2}dx + \int_2^\infty e^{-x}dx= \int_0^2 e^{-\frac 12x^2}dx + e^{-2} \] So richtig sinnvoll geht das nur im Reellen bzw. wenn du Beträge bildest.


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Kuestenkind
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-19

Huhu, oder man nutzt diese Kontur: https://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral#Limits_as_x_approaches_infinity Gruß, Küstenkind


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Pter87
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19

Vielen Dank Küstenkind für den Tipp. Ich werde allerdings vorerst versuchen es über meinen Weg zu lösen. @Ochen Ich weiß nicht genau wie du dir das vorgestellt hast mit der Substitution aber ich komme damit irgendwie nicht weiter. Vielleicht habe ich dich auch missverstanden, aber mittlerweile bin ich so weit: $-ir \int_0^1e^{2r^2(t-1)}e^{i(t-1)^2-1)r^2}dt = -ir \int_0^1e^{2r^2(t-1)}e^{ir^2(t-1)^2}e^{-ir^2}dt = \frac{-ir}{e^{ir^2}}\int_0^1e^{2r^2(t-1)}e^{ir^2(t-1)^2}dt$ Ich substituiere dann $t=\frac{x}{r}+1$ $\Rightarrow \frac{-ir}{e^{ir^2}}\int_{-r}^0e^{2r^2\frac{x}{r}}e^{ir^2(\frac{x}{r})^2}dx = \frac{-ir}{e^{ir^2}}\int_{-r}^0e^{2rx}e^{ix^2}dx$ Ich weiß nicht ob ich das so machen sollte, aber sehe nicht inwiefern mich das weitergebracht hat oder was man noch machen müsste.


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