| |
| Autor |
  Table |
|
OliverFuchs
Aktiv 
Dabei seit: 25.03.2020
Mitteilungen: 237
Wohnort: Wien, Österreich
 |  Themenstart: 2021-02-18
|
Hallo,
immer turne ich noch in der Zahlentheorie herum.
Jetzt möchte ich etwas nachprüfen und brauche eine große Tabelle.
Konkert möchte ich wissen für welche Zahlen $a,b$ wür die
$(7\not\vert a)\wedge(7\not\vert b)$,$7\vert (a^2+b^2)$
im Bereich $1\leq a\leq 40,1\leq b\leq 40$ sind mir nur durch $7$
teilbare Lösungen aufgetaucht. Erweitere ich den Suchbereich,
sagen wir auf $1\leq a\leq 100,1\leq b\leq 100$ so hat die Tabelle schon 10000 Einträge und wird unübersichtlich. Mit der Mod Funktion und der Boolean Funktion habe ich alle Einträge die nicht meinen Lösungskriterien
entsprechen auf $0$ gesetzt.
Table[
{(a^2 + b^2)*Boole[Mod[a^2 + b^2, 7] == 0]*
Boole[Mod[a, 7] == 0]*Boole[Mod[b, 7] != 0],
a*Boole[Mod[a^2 + b^2, 7] == 0]
*Boole[Mod[a, 7] != 0]*Boole[Mod[b, 7] != 0],
b*Boole[Mod[a^2 + b^2, 7] == 0]*Boole[Mod[a, 7] != 0]*
Boole[Mod[b, 7] != 0]}
, {a, 1, 100}, {b, 1, 100}
]
Wie kann ich es jetzt aber anstellen das in der Tabelle überhaupt nur die von mir gewünschten Lösungen als Einträge auftauchen und keine sonst?
Danke für die Hilfe
lg Oliver
🙂
|
 Profil
|
ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3810
Wohnort: der Nähe von Schwerin
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-18
|
Hallo,
du brauchst nur in dem Bereich $0\leq a\leq b\leq 3$ suchen. Findest du dort keine Lösung, gibt es keine.
|
Profil
|
OliverFuchs
Aktiv
Dabei seit: 25.03.2020
Mitteilungen: 237
Wohnort: Wien, Österreich
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19
|
Lieber Ochen,
Du hast gemeint, dass es genügt, die Bedingung für die
$0\leq a\leq b\leq 3$ nachzuprüfen. Da das Problem in $a$ und $b$
symmetrisch ist, kann ich $a\leq b$ nachvollziehen.
Aus $a=0$ würde mit $a=0=7\cdot 0$, $7\vert a$ folgen. Gleiches
gilt für $b$. Daher kann ich die $0$ ausschließen.
Also kann ich schon $1\leq a\leq b$ nachvollziehen.
Bei der Obergrenze $3$ habe ich aber probleme.
Kannst Du mir bitte erläutern, wie du darauf kommst?
Danke
liebe Grüße
Oliver
🙂
|
Profil
|
emmi82
Senior 
Dabei seit: 06.05.2013
Mitteilungen: 459
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-19
|
Hi,
das Verwerfen unbenötigter Einträge müsste per If gehen, mit Append an eine zu Beginn leere Tabelle. Ich kann es nur nicht testen, da ich kein Mathematica installiert habe.
Ich habe zwar nicht genau verstanden, was du überprüfen möchtest (deine Syntax ist mir fremd), stellvertretend prüfe ich aber hier die Aussage: "Gibt es Zahlen a und b, wobei (a^2+b^2) nicht durch 7 teilbar ist, a durch 7 teilbar ist und b aber nicht durch 7 teilbar ist?". Nur solche sollen in die Tabelle eingetragen werden. Das könnte so gehen:
\sourceon Mathematica
tabelle = {}
Do[If[Mod[a^2 + b^2, 7] != 0 && Mod[a, 7] == 0 && Mod[b,7]!= 0,
Append[tabelle, {a^2 + b^2, a, b}],
Continue[]],{a,1,100},{b,1,100}]
\sourceoff
emmi
|
Profil
|
ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3810
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-19
|
Hallo nochmal,
für alle $a,b\in \mathbb Z$ mit $7\nmid a$ und $7\nmid b$ existieren $k,\ell,p,q\in\mathbb Z$ mit $a=7k+p$, $b=7\ell+q$ und $0<|p|,|q|\leq 3$.
Es ist $a^2+b^2-(p^2+q^2)$ durch 7 teilbar. Das bedeutet, dass $a^2+b^2$ genau dann durch 7 teilbar ist, wenn $p^2+q^2$ durch 7 teilbar ist. Und es gibt ja nicht so viele Paare $(p,q)$.
|
Profil
|
OliverFuchs
Aktiv
Dabei seit: 25.03.2020
Mitteilungen: 237
Wohnort: Wien, Österreich
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-20
|
Lieber Ochen,
Jetzt kommt es zu einer Themenverfehlung. Denn ich bereite mich ja auf die Zahlentheorievorlesung vor und gehe jetzt auf diese Seite deines Argumentes ein. Das hat dann aber nichts mehr mit Mathematica zu tun.
Ich konnte nach Durchsicht der Vorlesung deine Argumente nachvollziehen. Scheinbar hast Du die Division mit absolut kleinsetem Rest verwendet.
Dann muss ich nur die Paare $(a,b)$ mit $1\leq a\leq b\leq 3$ durchprobieren
a b $a^2$ $b^2$ $a^2+b^2$ $7\vert a^2+b^2$
1 1 1 1 2 nein
1 2 1 4 5 nein
1 3 1 9 10 nein
2 2 4 4 8 nein
2 3 4 9 13 nein
3 3 3 9 12 nein
Demnach wäre $7\vert (a^2+b^2)$ in $\mathbb{Z}$ nicht lösbar.
a b $a^2$ $b^2$ $a^2+b^2$ $2\vert a^2+b^2$
1 1 1 1 2 ja
Also gibt es für $p=2$ offen sichtlich eine Lösung.
Damit scheint es aber so zu sein, entgengen meiner Hoffnung,
dass man keine generelle Entscheidung für alle Primzahlen treffen kann.
Es gibt dann Primzahlen für die das Problem in $\mathbb{Z}$ lösbar
ist und solche wo es nicht lösbar ist.
Nun ist mir das Problem untergekommen als ich die Primazahlen $\mathbb{P}$
eingebettet in $\mathbb{Z}[i]$ auf die Eigenschaft hin untersucht habe,
ob sie in $\mathbb{Z}$ auch Primzahlen sind. Nun gibt es echte Teiler,
nach meinen Überlegungen, genau dann wenn diese Gleichung lösbar ist.
Es gilt dann $2=(1+i)(1-i)$. Wie ich mich aus Wikipedia zu erinneren glabue, sind die Lösungen, so sie existieren immer konjugiert komplex.
Das wäre hier der Fall. Damit wäre $2\in\mathbb{Z}[i]$ kein Primelement.
Aber $7$ nicht. Somit ist für mich die Frage ob alle Primzahlen
in $\mathbb{Z}$ auch Primzahlen sind nicht eindeutig lösbar.
Manche ja, manche nein.
Habe ich mit dieser Überlegung recht?
Kann man eine Charakterisierung angeben welche Primzahlen $p\in\mathbb{P}$
auch in $\mathbb{Z}[i]$ Primzahlen sind.
lg Oliver
🙂
|
Profil
|
OliverFuchs hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
OliverFuchs hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | OliverFuchs wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
