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| Autor |
 Variablensubstitution in der Optimierung |
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Huhoha
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 33
 |  Themenstart: 2021-02-19
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Sei $f: \mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}$ eine convexe, stetige Funktion mit
$$ x^* = \text{argmin}_x f(x). $$
Wenn ich die Variablensubstitution $x=y+z$ mache und das Optimierungproblem
$$ (y^*,z^*) = \text{argmin}_{y,z} f(y+z) $$
löse, gilt immer $x^*=z^*+y^*$? Für konkrete Funktionen kann ich die Bedingungen erste Ordung $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ (und auch für $y$ und $z$) aufschreiben und sehe dass es passt. Hat jemand eine Idee, wie ich das allgemein zeigen kann?
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4628
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-19
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Zunächst einmal muss klar sein, dass $f(z+z)$ kein eindeutiges Minimum besitzen kann und daher $\arg\min_{(y,z)}f(y+z)$ als Menge zu lesen ist.
Dann spielt es aber, solange $f$ überhaupt ein Minimum annimmt, keine Rolle, ob $f$ stetig oder konvex ist: Wegen $\{x:x\in\mathbb R^n\}=\{y+z:y,z\in\mathbb R^n\}$ ist $m:=\min_xf(x)=\min_{(y,z)}f(y+z)$ und daraus folgt weiter$$
\arg\min\nolimits_{(y,z)}f(y+z)=
\{(y,z)\in\mathbb R^{2n}:f(y+z)=m\}=
\{(y,z)\in\mathbb R^{2n}:y+z\in\arg\min\nolimits_xf(x)\}\;.
$$Für den Fall $\arg\min\nolimits_xf(x)=\{x^*\}$ gilt somit speziell$$
\arg\min\nolimits_{(y,z)}f(y+z)=
\{(y,z)\in\mathbb R^n:y+z=x^*\}\;.
$$--zippy
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Huhoha
Wenig Aktiv
Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-22
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klar, stimmt, danke sehr!
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Huhoha
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 15.06.2020
Mitteilungen: 33
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-21
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Eine kleine Erweiterung zu meiner Frage: Würde dies auch gelten bei einer Optimierung mit Nebenbedingungen? Also \(x^*\) aus
\[
\begin{align}
\min_x & f(x) \\
\text{u. d. N. } & g(x)=0
\end{align}
\]
und \(y^*, z^*\) aus
\[
\begin{align}
\min_{y,z} & f(y+z) \\
\text{u. d. N. } & g(y+z)=0
\end{align}
\]
würde gelten, dass \(x^* = y^* + z^*\) auch bei nicht konvexer Menge \(g(x) = 0\) ?
Es ist klar, dass für alle \(x^*\) aus (1), (2), wenn man \(y^*, z^*\) so wählt, dass \(x^* = y^* + z^*\) gilt, auch problem (3), (4) minimiert wird. Ist aber \(y^* + z^*\) für alle Lösungen \(y^*, z^*\) von (3), (4) auch ein minimum von (1), (2)?
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7142
Wohnort: Niedersachsen
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-02-21
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Ja, die Nebenbedingung ändert nichts an der Argumentation von Beitrag #1.
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