Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Integration im IR^n » Iterierte Integrale vereinfachen
Autor
Universität/Hochschule J Iterierte Integrale vereinfachen
Phoensie
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 437
Wohnort: Muri AG, Schweiz
  Themenstart: 2021-02-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \) Hallo zusammen Aufgabe. Seien $f: \R \to \C$ stetig und $n \geq 2$. Dann gilt: \[ \begin{align*} \int_0^{x_1} \int_0^{x_2} \ldots \int_0^{x_n} f(t) \mathrm{d}t \mathrm{d} x_n \ldots \mathrm{d} x_2 = \frac{1}{(n-1)!} \int_0^{x_1} (x_1 - t)^{n-1} f(t) \mathrm{d}t. \end{align*} \] Ich habe versucht, dies via Induktion zu zeigen. Beim Induktionsschritt (mit $n+1$ Integralen) haperts aber noch: \[ \begin{align*} &\int_0^{x_1} \int_0^{x_2} \ldots \int_0^{x_n} \int_0^{x_{n+1}} f(t) \mathrm{d}t \mathrm{d} x_{n+1} \mathrm{d} x_n \ldots \mathrm{d} x_2 \\ &= \int_0^{x_1} \left(\int_0^{x_2} \ldots \int_0^{x_n} \int_0^{x_{n+1}} f(t) \mathrm{d}t \mathrm{d} x_{n+1} \mathrm{d} x_n \ldots \mathrm{d} x_3 \right) \mathrm{d} x_2 \\ &\qquad \color{red}{\downarrow \; \text{Induktionsvoraussetzung für $n$-fach iteriertes Integral.}} \\ &= \int_0^{x_1} \left( \frac{1}{(n-1)!} \int_0^{x_2} (x_2 - t)^{n-1} f(t) \mathrm{d}t \right) \mathrm{d} x_2 \\ &\qquad \color{red}{\downarrow \; \text{Linearität des Integrals.}} \\ &= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^{x_1} \left( \int_0^{x_2} (x_2 - t)^{n-1} f(t) \mathrm{d}t \right) \mathrm{d} x_2 \end{align*} \] So weit so gut. Nun kann ich aber - da $f$ nicht diff'bar ist - nicht einfach partiell integrieren, um den Faktor $\frac{1}{n}$ ins Spiel zu bringen. Also entscheide ich mich für eine Substitution und rechne weiter \[ \begin{align*} &\qquad \color{red}{\downarrow \; \text{Substituiere } u=x_2-t,\,\mathrm{d}u=-\mathrm{d}t .} \\ &= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^{x_1} \left( \int_{x_2}^{0} u^{n-1} f(x_2-u) (-\mathrm{d}u) \right) \mathrm{d} x_2 \\ &\qquad \color{red}{\downarrow \; \text{Vertausche die Integrationsgrenzen.}} \\ &= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^{x_1} \left( \int_{0}^{x_2} u^{n-1} f(x_2-u) \mathrm{d}u \right) \mathrm{d} x_2 \\ &= \ldots \\ &= \ldots \\ &= \ldots \\ &= \frac{1}{n!} \int_0^{x_1} (x_1 - t)^{n} f(t) \mathrm{d}t. \end{align*} \] Habt ihr einen Tipp oder Verbesserungsvorschläge, um hier zum Ziel zu gelangen? LG Phoensie\(\endgroup\)


   Profil
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 700
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-22

Hallo Phoensie, eine Möglichkeit, die Gleichung \[\frac{1}{(n-1)!} \int_0^{x_1} \left( \int_0^{x_2} (x_2 - t)^{n-1} f(t) \mathrm{d}t \right) \mathrm{d} x_2=\frac{1}{n!} \int_0^{x_1} (x_1 - t)^{n} f(t) \mathrm{d}t\] zu beweisen wäre wohl die folgende: Beide Seiten ergeben abgeleitet nach \(x_1\) den Wert \(\frac{1}{(n-1)!}\int_0^{x_1} (x_1 - t)^{n-1} f(t) \mathrm{d}t\). Bei der linken Seite ist dies klar. Bei der rechten Seite kannst Du Dir denke ich überlegen, dass die Leibniz-Regel für Parameterintegrale hier anwendbar ist, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral#Leibnizregel_f%C3%BCr_Parameterintegrale Daher können sich beide Seiten nur um eine Konstante unterscheiden. Da sie aber beide in \(x_1=0\) den Wert \(0\) annehmen, müssen sie gleich sein.


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4179
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-22

Es ist$$ \begin{align*} &\intop_0^{x_1}\intop_0^{x_2} \!\ldots \intop_0^{x_{n-1}}\intop_0^{x_n} f(t) \;\mathrm dt\,\mathrm dx_n \,\ldots \,\mathrm dx_3\,\mathrm dx_2 =\\[1.5ex] &\intop_0^{x_1}\intop_t^{x_1} \!\ldots \intop_{x_4}^{x_1}\intop_{x_3}^{x_1} f(t) \;\mathrm dx_2\,\mathrm dx_3 \,\ldots \,\mathrm dx_n\,\mathrm dt = \intop_0^{x_1}\left[\intop_t^{x_1} \!\ldots \intop_{x_4}^{x_1}\intop_{x_3}^{x_1} \,\mathrm dx_2\,\mathrm dx_3 \,\ldots \,\mathrm dx_n\right]\!f(t)\,\mathrm dt\;, \end{align*}$$und für den Inhalt der eckigen Klammern erhält man durch Integrieren "von innen nach außen"$$ \intop_t^{x_1} \!\ldots \intop_{x_4}^{x_1}\intop_{x_3}^{x_1} \,\mathrm dx_2\,\mathrm dx_3 \,\ldots \,\mathrm dx_n = {(x_1-t)^{n-1}\over(n-1)!}\;.$$Wenn man das nicht schon durch scharfes Hinsehen erkennt, kann man sich mit Induktion behelfen:$$ \intop_{x_{k+1}}^{x_1} {(x_1-x_k)^{k-2}\over(k-2)!} \,\mathrm dx_k = \left. {(x_1-x_k)^{k-1}\over(k-1)!} \right|^{x_k=x_{k+1}}_{x_k=x_1} = {(x_1-x_{k+1})^{k-1}\over(k-1)!}$$--zippy


   Profil
sonnenschein96
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 700
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-22

Um den Ansatz von zippy mit vertauschter Integrationsreihenfolge aufzugreifen: Du kannst in Deinem ursprünglichen Ansatz wohl auch durch $$ \begin{align*} \frac{1}{(n-1)!} \int_0^{x_1} \left( \int_0^{x_2} (x_2 - t)^{n-1} f(t) \mathrm{d}t \right) \mathrm{d} x_2 &= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^{x_1} \left( \int_{t}^{x_1} (x_2 - t)^{n-1}\mathrm{d}x_2 \right)f(t) \mathrm{d} t \\ &= \frac{1}{(n-1)!} \int_0^{x_1} \left[\frac{(x_2 - t)^n}{n}\right]_{t}^{x_1} f(t) \mathrm{d} t\\ &=\frac{1}{n!} \int_0^{x_1} (x_1 - t)^{n} f(t) \mathrm{d}t \end{align*} $$ zum Ziel kommen.


   Profil
Phoensie
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 437
Wohnort: Muri AG, Schweiz
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-22

Liebe sonnenschein96 Die Leibnizregel für Parameterintegrale kannte ich noch gar nicht, aber Nachfragen hat mir bestätigt: Ich darf sie verwenden. Interessante Überlegung im Wikiartikel dazu (man lernt jeden Tag etwas dazu, hehe...). Der Beweis hat nun geklappt, danke dir!😄 Liebe Grüsse Phoensie [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


   Profil
Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]