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| Autor |
 Verwirrung um Basen bei Darstellungsmatrix |
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Dusia_mag_LA
Junior 
Dabei seit: 02.02.2021
Mitteilungen: 15
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Sei $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ mit
$
f((1, 1, 1)^T) = (1, 0)^T \\
f((0, 2, 0)^T) = (2, 2)^T \\
f((0, 0, -1)^T) = (1, 1)^T
$
und als Basen
$
B = ((1, 1, 1)^T, (0, 2, 0)^T, (0, 0, -1)^T) \\
C = ((1, 0)^T, (0, 1)^T)
$
dann ist die Darstellungsmatrix
$
M^B_C(f) = \bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{smallmatrix}\bigr)
$
Wenn das soweit stimmt, warum kommt dann nach Anwenden der Darstellungsmatrix auf einen der Vektoren nicht der erwartete Funktionswert heraus?
$
M^B_C(f) \cdot (1, 1, 1)^T = (4, 3)^T \neq (1, 0)^T = f((1, 1, 1)^T)
$
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reik
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-26
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\(f((0, 2, 0)^T) = (2, 2)^T\) mittlere Spalte multipliziert mit \(2\) ergibt \((2, 2)^T\), d.h. \(\bigl(\begin{smallmatrix}
. & \color{green}{1} & .\\
. & \color{green}{1} & .
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(0, 2, 0)^T = (2, 2)^T\)
\(f((0, 0, -1)^T) = (1, 1)^T\) letzte Spalte multipliziert mit \(-1\) ergibt \((1, 1)^T\), d.h. \(\bigl(\begin{smallmatrix}
. & 1 & \color{green}{-1}\\
. & 1 & \color{green}{-1}
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(0, 0, -1)^T = (1, 1)^T\)
\(f((1, 1, 1)^T) = (1, 0)^T\) die Summe der drei Spalten ergibt \((1, 0)^T\), d.h. \(\bigl(\begin{smallmatrix}
\color{green}{1} & 1 & -1\\
\color{green}{0} & 1 & -1
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(1, 1, 1)^T = (1, 0)^T\)
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Dusia_mag_LA
Junior
Dabei seit: 02.02.2021
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26
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Vielen Dank für deine Antwort.
Tut mir leid, aber die Frage war nicht, wie man die Matrix bestimmt, sodass $(1, 0)^T$ rauskommt - sondern warum, wenn man die Darstellungsmatrix anwendet, nicht der Funktionswert rauskommt.
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reik
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-27
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Ich habe Dir Unsinn erzählt! Die Darstellungsmatrix \(M^B_C(f) = \bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{smallmatrix}\bigr)\) bildet \(\textbf{die Koordinaten}\) eines Vektors im Urbildraum bzgl. der Basis \( B = \left \{ (1,1,1)^T, (0,2,0)^T, (0,0,-1)^T \right \}\) auf \(\textbf{die Koordinaten}\) eines Vektors im Bildraum bzgl. der Basis \( C = \left \{ (1,0)^T, (0,1)^T \right \}\) ab. Die Koordinaten für den ersten Basisvektor sind \((1,1,1)^T_B = 1\cdot (1,1,1)^T + 0 \cdot (0,2,0)^T + 0 \cdot (0,0,-1)^T = (1, 0,0)^T\) und es folgt \(\bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(1, 0,0)^T = (1,0)^T\). Bedenke das \((1,0)^T\) die Koordinaten des Bildes bzgl. der Basis C ist, d.h. der Vektor ist \(1\cdot(1,0)^T + 0\cdot(0,1)^T = (1,0)^T_C\). In diesem Sonderfall der Standardbasis sieht man jedoch keinen Unterschied.
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