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Funktionentheorie » Integration » Residuum bestimmen
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Universität/Hochschule Residuum bestimmen
NIck1234
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  Themenstart: 2021-02-27

Hi, ich habe folgende Aufgabe: Bestimmen Sie das Cauchy-Integral int(z/(z^2 + 2)^3,z,\gamma) für jede geschlossene Kurve \gamma , welche sqrt(2)i und - sqrt(2)i einmal im mathematisch positiven Sinne umrundet. Da es ja für jede Kurve gelten muss, kann ich denke ich nicht die Chauchy-Integral Formel nehmen. Deswegen wollte ich den Residuuen-Satz nehmen. f(z) in eine Laurentreihe zu entwickeln und die Residuuen abzulesen, hat sich aber als relativ schwierig herausgestellt, deswegen habe ich erstmal die Ordnung der Pole bestimmt, die bei drei liegen. Setze ich das aber in die Formel für die Residuuen ein, erweist sich die Grenzwertbildung auch als sehr kompliziert....Mittlerweile weiß ich das die Residuen für die beiden Singularitäten Null sind, die Rechnung dahin fehlt mir aber und würde mich sehr interessieren. Hat jemand eine Idee wie man die Residuuen schnell bestimmen kann? LG Nick


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-27

Hallo, vielleicht kannst du hier $u=z^2+2$ substituieren. Dann erhälst du $\frac{du}{dz}=\ldots$ und dann kannst du die Laurentreihe von $\frac{1}{2u^3}$ nutzen. Ich weiß nicht genau, ob so etwas erlaubt ist. Oder du nutzt geschickt, dass für deinen Integranden $-f(z)=f(-z)$ gilt. Eine weitere Möglichkeit ist Partialbruchzerlegung zu machen...


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NIck1234
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-27

Danke für deine Antwort. Ich schau mal ob es mit der Substitution leichter geht. Allerdings hatte ich gehofft, dass es irgend einen leichteren Weg gibt... :/


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kuestenkind
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-27

Huhu NIck1234, \(\displaystyle \frac{z}{(z^2+2)^3}=\frac{z}{(z+i\sqrt{2})^3(z-i\sqrt{2})^3}\) https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2021-02-27_um_19.03.59.png Gruß, Küstenkind


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Wally
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-02-27

Hallo, NIck1234, du kannst benutzen, dass es eine Stammfunktion gibt - dann brauchst du keine Residuen. Viele Grüße Wally


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