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  Wie finde ich alle konformen Abbildungen ? |
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Pter87
Wenig Aktiv 
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Mitteilungen: 425
 |  Themenstart: 2021-02-27
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Ich hab hier mehrere Aufgaben vom Typ:
Sei $G\subset \mathbb{C}$. Bestimme alle konformen Abbildungen $f\colon \mathbb{D} \to G$ mit $f(a) = b$. $\mathbb{D}$ ist die offene Kreisscheibe mit Radius 1.
Wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor. Ich weiß was eine konforme Abbildung ist, aber irgendwie fehlt mir die Idee wie ich sowas löse. Ich gehe mal davon aus, dass möglicherweise irgendwo der Riemannsche Abbildungssatz angewendet werden muss.
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-27
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Hallo Pter87,
der Riemannsche Abbildungssatz ist hier nur insofern nötig, dass er dir genau klassifiziert, wie $G$ überhaupt aussehen darf. Also wenn $G$ kein nichtleeres, einfach zusammenhängendes Gebiet ist, dann gibt es gar keine solche konforme Abbildung. Ist $G$ jedoch ein nichtleeres, einfach zusammenhängendes Gebiet, so gibt es eine konforme Abbildung $\varphi:\mathbb D\to G$ (die nicht unbedingt $a\mapsto b$ abbildet). Für mehr braucht man den Satz hier nicht.
Sei nun $c:=\varphi^{-1}(b)$. Außerdem sei $\varphi_{ac}$ ein Automorphismus von $\mathbb D$, der $a$ und $c$ vertauscht (darfst du gegebenenfalls selbst bestimmen). Dann ist $\psi:=\varphi\circ\varphi_{ac}$ eine konforme Abbildung $\mathbb D\to G$, die $a\mapsto b$ abbildet.
Sei nun $f:\mathbb D\to G$ eine weitere konforme Abbildung mit $f(a)=b$. Dann ist $\eta:=f^{-1}\circ\psi$ ein Automorphismus von $\mathbb D$, der $a$ fixiert. Eine Klassifizierung solcher Automorphismen könntest du kennen oder dir selbst überlegen. Mit diesen Informationen kannst du dann $f$ isolieren, und hast dann dessen allgemeine Form, wenn du die allgemeine Form von $\eta$ kennst.
Anmerkung: $\varphi$ wirst du im Allgemeinen nicht angeben können, da der Riemannsche Abbildungssatz nicht konstruktiv vorgeht. Wenn $G$ aber schon gegeben ist, dann kannst du dir eventuell einen speziellen solchen Automorphismus aussuchen. Dann brauchst du den Abbildungssatz überhaupt nicht.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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Pter87
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-28
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Hey,
ich glaube bevor ich diese Aufgabe bearbeite, muss ich noch paar Unklarheiten bei mir klären. Es geht mir um die Definition von konformen Abbildungen.
Die erste Defintion, die ich so gelesen habe, ist, dass konforme Abbildungen einfach winkelerhaltende Abbildungen sind. Das wurde folgendermaßen erklärt:
Sei $f\colon G \to \mathbb{C}, G \subset\mathbb{C}$($G$ ein Gebiet) eine Abbildung und $\gamma_1,\gamma_2\colon[0,1]\to G$ zwei Kurven in $G$, welche dort einen Schnittpunkt in $z_0$ haben. Es sei $\gamma_1(t_0)=\gamma_2(t_0)=z_0$. $f$ wird dann konform in $z_0$ genannt, wenn gilt:
\[
\angle(\dot{\gamma_1}(t_0),\dot{\gamma_2}(t_0)) = \angle(f'(z_0)\cdot\dot{\gamma_1}(t_0),f'(z_0)\cdot\dot{\gamma_2}(t_0))
\]
Mit dieser Definition muss ja jede in einem Punkt konforme Abbildung auch dort holomorph sein. Damit gilt: $f$ konform $\Rightarrow f$ holomorph. Insbesondere muss $f'(z)\neq 0,\;\forall z \in G$.
Jetzt hat aber mein Dozent eine für mich nicht so verständliche Definition. Er definiert eine konforme Funktion wie folgt:
Sei $G\subset \mathbb{C}$ ein Gebiet. Für eine schlichte Funktion $f\colon G \to \mathbb{C}$(holomorph und injektiv) wird die bijektive Abbildung $f\colon G \to f(G)$ eine konforme Abbildung von $G$ nach $f(G)$ genannt.
Mit dieser Definition werde ich irgendwie nicht warm. Vielleicht kannst du mir erklären, wie diese Definition in Relation zu der obigen steht.
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Vercassivelaunos
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Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-28
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Es gibt im Prinzip zwei verschiedene Arten konformer Abbildung, die leider beide konform genannt werden. Ich möchte das hier umgehen, indem ich von "im Kleinen konform" und "im Großen konform" rede (so nennen es beispielsweise auch Busam & Freitag).
Eine Funktion $f:G\to\mathbb C$ ist im Kleinen konform, wenn sie in jedem Punkt winkelerhaltend ist. Eine Funktion ist im Großen konform, wenn sie zusätzlich auch noch bijektiv ist, womit es sich um eine winkeltreue Transformation handelt. Definitionsbereich und Bild einer im Großen konformen Abbildung heißen dann konform äquivalent, das heißt, sie lassen sich so ineinander transformieren, dass dabei alle Winkel erhalten bleiben. Im Kleinen konforme Abbildungen sind also eine Art Homomorphismus, denn sie erhalten einen Teil der Struktur von Gebieten, nämlich die Winkelstruktur (man sagt dazu auch konforme Struktur), so wie Gruppenhomomorphismen die Gruppenstruktur erhalten, und Vektorraumhomomorphismen die Vektorraumstruktur erhalten. Im Großen konforme Abbildungen sind dann die zugehörigen Isomorphismen.
Es stellt sich nun heraus, dass eine Funktion genau dann im Kleinen konform ist, wenn sie holomorph ist und ihre Ableitung nirgends verschwindet. Es stellt sich auch heraus, dass eine holomorphe Funktion genau dann lokal injektiv ist (also in ausreichend kleinen offenen Teilmengen von $G$ injektiv), wenn ihre Ableitung nirgends verschwindet. Also ist eine Funktion genau dann im Kleinen konform, wenn sie holomorph und lokal injektiv ist. Im Großen konform ist sie entsprechend genau dann, wenn sie holomorph und bijektiv ist, und dann sind $G$ und $f(G)$ konform äquivalent.
Dein Dozent erhebt jetzt diese letzte Charakterisierung zur Definition, indem er im Endeffekt sagt, eine Abbildung sei (im Großen) konform, wenn sie holomorph und bijektiv ist.\(\endgroup\)
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Pter87
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-01
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Super, jetzt verstehe ich die Definition auch.
Ich gehe mal stark davon aus, dass die Umkehrfunktion auch im Großen konform ist oder ? Dann wären im Großen konforme Abbildungen doch insbesondere biholomorphe Abbildungen und das würde auch Wikipedias Form des Riemannschen Abbildungssatzes erklären.
Möbiustransformationen sind doch ebenfalls auf der enstprechenden Teilmenge von $\mathbb{C}$ im Großen konform oder ?
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Vercassivelaunos
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-02
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Ja, Umkehrfunktionen von im Großen konformen Abbildungen sind ebenfalls im Großen konform (was ja auch wichtig für die Idee ist, dass es sich um Isomorphismen handelt, denn die Inverse eines Isomorphismus sollte selbst auch ein Homomorphismus sein!). Was ja auf den ersten Blick überraschend ist, denn beispielsweise sind Umkehrfunktionen bijektiver, differenzierbarer Funktionen nicht unbedingt differenzierbar. Die Umkehrfunktionen bijektiver, holomorpher Funktionen aber schon. Das hat mit der Eigenschaft zu tun, dass holomorphe Funktionen genau dann lokal injektiv sind, wenn ihre Ableitung nirgends verschwindet. Deswegen lässt sich die globale Version des Satzes von der Umkehrfunktion auf alle im Großen konforme Abbildungen anwenden (und die lokale Version auf alle im Kleinen konforme Abbildungen).
Und auch ganz richtig, im Großen konforme Abbildungen sind genau die biholomorphen Funktionen. Zu denen natürlich auch die Möbiustranformationen zählen.
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Pter87
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-04
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Hallo,
ich grabe hier nochmal diesen Thread aus, weil ich gerade an einer Aufgabe sitze, die von mir verlangt alle konformen Abbildungen zu finden.
Es geht darum alle konformen Abbildungen zu finden, mit einer bestimmten Eigenschaft. Die Aufgabe hatte ich schon zuvor in Mathematics Stack Exchange gepostet und dachte, dass ich das auch hier nochmal verlinke.
https://math.stackexchange.com/questions/4241868/is-this-the-only-conformal-mapping-with-f0-3
Eine Abbildung mit dieser Eigenschaft habe ich womöglich gefunden, aber wie bekomme ich die anderen?
Bisherige Idee:
Ich hab, sofern meine Abbildung valide ist, ja eine konforme Abbildung von $f\colon\mathbb{D} \to E$. Damit habe natürlich auch eine konforme Umkehrabbildung $f^{-1}\colon E \to\mathbb{D}$. So jetzt weiß ich aus meinen Skript, dass jede andere Funktion $g\colon E \to \mathbb{D}$ ,die die 3 auf die 0 schickt, die Form $g = e^{ia}\cdot f^{-1}$ haben muss. Ab hier weiß ich dann auch nicht mehr weiter, sofern das ein 'passender' Weg ist.
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Vercassivelaunos
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-09-05
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Hallo Pter87,
der Trick von weiter oben im Thread lässt sich hier leicht modifiziert anwenden: Wenn du schon eine konforme Abbildung $f:\mathbb D\to E$ hast, welche $0$ auf $3$ schickt, dann gilt für jede weitere konforme Abbildung $g$ mit derselben Eigenschaft, dass $\varphi:=f^{-1}\circ g$ ein Automorphismus von $\mathbb D$ ist, der die $0$ fixiert. Alle Möglichkeiten für einen solchen hast du ja schon benannt: Es sind gerade die Drehungen der Kreisscheibe, also $\varphi(z)=\e^{\i a}z$ für ein $a\in\mathbb R$.
Daraus kann man aber auch wieder auf die Form von $g$ schließen: Es ist ja $\varphi=f^{-1}\circ g$, also $g=f\circ\varphi$. Demnach muss $g$ von der Form $g(z)=f(\e^{\i a}z)$ sein.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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Pter87
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Mitteilungen: 425
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-05
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Achso ok, vielen Dank, jetzt sehe ich woher das kommt.
In unsere Vorlesung hatten wir einen Satz, der besagt, dass jede konforme Abbildung $h$ von $\mathbb{D}$ nach $\mathbb{D}$ folgende Form hat:
\[
h(z) = e^{i\alpha}\frac{z-z_0}{1-\bar{z_0}z}
\]
für ein $\alpha \in \mathbb{R}$ und $z_0 \in \mathbb{D}$
Wenn $f$ also meine Funktion von $\mathbb{D}$ nach $E$ ist und $g:\mathbb{D} \to E$ eine mögliche weitere, welche auch $g(0)=3$ erfüllt, dann ist $f^{-1}\circ g \colon\mathbb{D} \to \mathbb{D}$ mit $(f^{-1}\circ g)(0) = 0$. Dann folgt daraus, dass in dieser obigen Identität $z_0 = 0$ und damit ist $f^{-1}\circ g = e^{i\alpha}z$ wie du schon geschrieben hast.
Und daraus folgt dann ja $g = f(e^{i\alpha}z)$.
Die Frage, die ich mir jetzt stelle, ist, wie ich was über $\alpha$ rausfinden kann.
Es gilt ja ebenfalls $f^{-1}(z) = e^{i\alpha}g^{-1}(z)$ auf $E$. $f^{-1}(3) = g^{-1}(3) = 0$ und damit kann ich zumindest so nichts über $\alpha$ aussagen. Geht da vielleicht was über die Ableitung der Inversen im Punkt 3?
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Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-09-06
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Über $\alpha$ gibt es nichts weiter zu sagen. Jedes reelle $a$ ergibt eine erlaubte konforme Abbildung.\(\endgroup\)
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Pter87
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Mitteilungen: 425
|  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-09-06
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Achso ok. War ja gar nicht so schwierig😄. Danke für die Hilfe
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Pter87 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Pter87 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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