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 Modulkurven und Shimura-Varietäten |
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Theodore_97
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Hallo. Modulkurven sind definiert als Quotienten $\Gamma \backslash \mathfrak{h}$ der oberen Halbebene durch Kongruenzgruppen in $\text{SL}_2(\mathbb{Z})$. Es wird hier nicht explizit gefordert, dass $\Gamma$ torsionsfrei ist. Etwa hat man die Modulkurven $Y_0(N)$ wo $\Gamma=\Gamma_0(N)$ selten torsionsfrei ist für $N>2$ oder etwa $\Gamma =\text{SL}_2(\mathbb{Z})$ (hat auch Torsion). Bei Shimura Varietäten zum Datum $(G,X)$ verlangt man für den Quotienten $X_K= G(\mathbb{Q})\backslash X \times G(\mathbb{A}_\text{fin})/K$ (das ist die Shimura Varietät vom Level $K$) für offenes kompaktes $K\subset G(\mathbb{A}_\text{fin})$ aber im Allgemeinen ein genügend kleines $K$, etwa neat, sodass $X_K$ eine glatte (quasi-projektive) Varietät über $\mathbb{C}$ ist (die dann auch über einem Zahlkörper $E$ definiert ist). Modulkurven sind aber anscheinend eindimensionale connected Shimura Varietäten zum connected Shimura Datum $(\text{SL}_2,\mathfrak{h})$. Wieso verlangt man also hier nicht, dass die Level $\Gamma$ genügend klein sind? Und verlangt man es bei allgemeinen (oder connected) Shimura Varietäten überhaupt? Welchen Vorteil hat es, wenn man die $K$ genügend klein wählt? Soweit ich weiß, sind die covering maps $X_K \to X_{K'}$ mit $K\subset K'$ nur dann mit Sicherheit algebraische Morphismen, wenn $K'$ (und damit $K$) genügend klein ist, was uns dann auch ermöglicht den inversen Limes $\varprojlim X_K$ über alle genügend kleinen $K$ zu bilden (Turm von Shimura Varietäten) und dann hat man auch eine Rechtswirkung von $G(\mathbb{A}_\text{fin})$ auf den Turm oder die Kohomologie vom Turm, was für allgemeines $K$ nicht gegeben ist. Für Moduli Probleme korrespondieren die genügend kleinen $K$ zu fine moduli problems und die "großen" $K$ zu coarse moduli problems, oder? Ich verstehe nicht recht, wieso und wann man die Voraussetzung "$K$ genügend klein" macht, wann nicht, die Vorteile, und insbesondere wieso man dies nicht bei den Modulkurven annimmt (die $\Gamma$ dort also ganz allgemein sein können). Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand dies beantworten könnte.
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