Hallo!

Ich beginne gerade (freiwillig), mich in den Themenkomplex der Analysis I einzuarbeiten. In der zugehörigen Lektüre werden dabei zunächst Grundlagen der Logik und Mengenlehre vermittelt. Mein Vorwissen beläuft sich lediglich auf die in der Schule gelehrte Mathematik, entsprechend entschuldige ich mich im Voraus dafür, dass meine Fragen ggf. sehr trivial sind.

Bei folgender Übungsaufgabe zur Mengenlehre bin ich unsicher. 

''Man beweise, daß für jede Menge X gilt:
cut(A_,A\el\ P(X))=X''

Grundgedanke und Ansatz meinerseits wären folgende Überlegungen:

cut(A_,A\el\ P(X)) ist die Vereinigung aller Elemente der Potenzmenge P(X) von X. Diese Potenzmenge P(X) besteht gerade aus allen Teilmengen der Menge X, also ist cut(A_,A\el\ P(X)) die Vereinigung aller Teilmengen von X.
Für jede Teilmenge A von X gilt: X\union\ A=X. Zugleich ist X selbst eine Teilmenge von X.
Anschaulich dargestellt lässt sich die Vereinigung also schreiben als 
cut(A_,A\el\ P(X))=X\union\ ...\union\ \0.
cut(A_,A\el\ P(X)) ist also die Vereinigung von X mit allen Teilmengen von X. Es gilt: \forall\ A\subset\ X: X\union\ A=X. Da P(X) nur aus diesen Mengen A\subsetequal\ X besteht, gilt folglich für die Vereinigung aller Elemente von P(X): cut(A_,A\el\ P(X))=X.

union(A,A \el P(X))=X

cut(A,A\el\ P(X))=\0

\0\subsetequal\ X.

(x\el\ \0)=>(x\el\ X)=\not\ (x\el\ \0)\or\ (x\el\ X)
\not\ (x\el\ \0) ist jedoch immer wahr, daher gilt die Implikation und es folgt: \0\subsetequal\ X.

\0\subsetequal\ X=>\0\el\ P(X)
Für jede Menge M gilt jedoch \0\cut\ M=\0.
Daraus folgt: cut(A,A\el\ P(X))=\0.