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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Vereinigung aller Elemente der Potenzmenge
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Schule J Vereinigung aller Elemente der Potenzmenge
katzenfreak
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 01.03.2021
Mitteilungen: 5
  Themenstart: 2021-03-01

Hallo! Ich beginne gerade (freiwillig), mich in den Themenkomplex der Analysis I einzuarbeiten. In der zugehörigen Lektüre werden dabei zunächst Grundlagen der Logik und Mengenlehre vermittelt. Mein Vorwissen beläuft sich lediglich auf die in der Schule gelehrte Mathematik, entsprechend entschuldige ich mich im Voraus dafür, dass meine Fragen ggf. sehr trivial sind. Bei folgender Übungsaufgabe zur Mengenlehre bin ich unsicher. "Man beweise, daß für jede Menge X gilt: cut(A_,A\el\ P(X))=X" Grundgedanke und Ansatz meinerseits wären folgende Überlegungen: cut(A_,A\el\ P(X)) ist die Vereinigung aller Elemente der Potenzmenge P(X) von X. Diese Potenzmenge P(X) besteht gerade aus allen Teilmengen der Menge X, also ist cut(A_,A\el\ P(X)) die Vereinigung aller Teilmengen von X. Für jede Teilmenge A von X gilt: X\union\ A=X. Zugleich ist X selbst eine Teilmenge von X. Anschaulich dargestellt lässt sich die Vereinigung also schreiben als cut(A_,A\el\ P(X))=X\union\ ...\union\ \0. cut(A_,A\el\ P(X)) ist also die Vereinigung von X mit allen Teilmengen von X. Es gilt: \forall\ A\subset\ X: X\union\ A=X. Da P(X) nur aus diesen Mengen A\subsetequal\ X besteht, gilt folglich für die Vereinigung aller Elemente von P(X): cut(A_,A\el\ P(X))=X. Meine Fragen hierzu: (1) Ist der Beweis inhaltlich schlüssig? (2) [Sofern der Beweis überhaupt sinnvoll ist: ] Wie kann man den relativ textlastigen Beweis formalisieren, sprich, mittels Quantoren und Aussagenlogik mathematisch sauberer formulieren? Ich bin dankbar für jeden Hinweis! 🙃


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-01

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! du meinst sicherlich die Identität \[\bigcup_{A\in\mathcal{P}(X)}A=X\] Was die verbale Version angeht, reicht für meinen Geschmack eigntlich schon dein letzter Satz als Beweis aus. Insofern sehe ich da jetzt auch keine Notwendigkeit für eine abkürzende Schreibweise. Du könntest noch eine Implikation geeignet einbauen zwischen die Aussagen "A ist Element von P" und "A ist Teilmenge von X". Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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AnnaKath
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-01

Huhu Katzenfreak und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten! Zunächst eine kleine technische Bemerkung: Du meist sicherlich das Symbol $\bigcup$ um eine Vereinigung darzustellen. Ansonsten ist der Beweis durchaus nachvollziehbar und sicher richtig; vermutlich zweifelt niemand daran, dass Du die richtigen Gedanken hast. Um etwas "sauberer" zu sein, benötigt es m.E. keineswegs mehr Quantoren oder anderer Formelzeichen; allerdings ist es sinnvoll, wenn man die Gleichheit zweier Mengen $U$ und $V$ zeigen will, dies zu tun, in dem Du sowohl $U\subset V$ und $V \subset U$ zeigst, hier also $X \subset \bigcup A$ (sehr einfach) und $\bigcup A \subset X$. Wenn Du dies notierst wirst Du (hoffentlich) feststellen, dass die gewisse Vagheit in Deinem Beweis verschwindet. lg, AK [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Kuestenkind
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-01

Huhu katzenfreak, auch von mir ein herzliches Willkommen! Ich schließe mich meiner Freundin Annakath an. Ein mathematisch sauberer Beweis muss nicht zwangsläufig nur aus Quantoren und Formeln bestehen. Gerade am Anfang ist es auch wichtig, dass du gute Prosa schreiben kannst! Siehe auch dort den kurzen Text von Kezer: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=249002&start=0#p1812366 Gruß, Küstenkind PS: Ich vermute mal, dass dieses auch in deinem Buch steht, aber falls nicht hast du gleich die nächste Übungsaufgabe: Was ist denn \(\bigcap\limits_{A\in \wp(X)} A\) ? Beweise das natürlich.


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katzenfreak
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-01

Vielen Dank für die hilfreichen Antworten und den herzlichen Empfang im Forum! 🙂 \quoteon(2021-03-01 15:49 - AnnaKath in Beitrag No. 2) Zunächst eine kleine technische Bemerkung: Du meist sicherlich das Symbol $\bigcup$ um eine Vereinigung darzustellen. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] \quoteoff Entschuldigung! Da war ich wohl etwas zu übereilt beim Formulieren der Frage... gemeint war natürlich die Identität union(A,A \el P(X))=X Vielen Dank @Diophant und @AnnaKath für den Hinweis. \quoteon(2021-03-01 16:11 - Kuestenkind in Beitrag No. 3) PS: Ich vermute mal, dass dieses auch in deinem Buch steht, aber falls nicht hast du gleich die nächste Übungsaufgabe: Was ist denn \(\bigcap\limits_{A\in \wp(X)} A\) ? Beweise das natürlich. \quoteoff Genau, diese Aufgabe schließt sich im Buch unmittelbar an. Gegeben ist die Identität cut(A,A\el\ P(X))=\0 Sollte ich richtig liegen, dann genügt es hier zu zeigen, daß: \0\subsetequal\ X. (x\el\ \0)=>(x\el\ X)=\not\ (x\el\ \0)\or\ (x\el\ X) \not\ (x\el\ \0) ist jedoch immer wahr, daher gilt die Implikation und es folgt: \0\subsetequal\ X. \0\subsetequal\ X=>\0\el\ P(X) Für jede Menge M gilt jedoch \0\cut\ M=\0. Daraus folgt: cut(A,A\el\ P(X))=\0. Soweit mein Vorschlag dazu... LG, katzenfreak


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Phoensie
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \) Lieber katzenfreak Für $\bigcap_{A \in \mathcal{P}(X)} A = \emptyset$ stellen wir fest, dass JEDE Teilmenge von $X$ in der Potenzmenge enthalten ist. Da wir aus einer Menge auch gar kein Element wählen können, ist folglich die leere Menge in der Potenzmenge enthalten, $\emptyset \in \mathcal{P}(X)$. Wie du richtig gefolgert hast, gilt $\forall A \subseteq X : A \cap \emptyset = \emptyset$. Folglich muss auch der Durchschnitt aller Teilmengen leer sein (übrigens auch im Fall wenn $\mathcal{P}(X)$ überabzählbar ist). Gruss Phoensie\(\endgroup\)


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