Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Differentialrechnung in IR » Nullstellen von g
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Nullstellen von g
Eostara
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.01.2021
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-02


Folgende Aufgabe wurde mir gestellt:

Seien f und g in (a, b) differenzierbar. Weiters gelte:
\[
f(x)*g'(x)-f'(x)*g(x) \neq 0
\] Zeigen Sie: zwischen zwei Nullstellen von f liegt immer eine Nullstelle von g.


Ich habe mir überlegt, dass ich 2 benachbarte Nullstellen \(x_1, x_2\) von f betrachten könnte. Aus dieser Überlegung folgt unmittelbar, dass \(g(x_1)\neq 0, g(x_2)\neq 0, f'(x_1)\neq 0\) und \( f'(x_2)\neq 0,\) gilt.
Weil f differenzierbar ist, folgt nach dem Satz von Rolle, dass es einen Punkt \(\xi \in (x_1, x_2)\) gibt, mit \(f'(\xi)=0\). Daraus folgt wiederum, dass \(f(\xi)\neq 0\) und \(g'(\xi)\neq 0\).
Somit ergibt sich insgesamt, dass weder f noch g konstant sind auf \([x_1, x_2]\).

Soweit meine Überlegungen zu der Aufgabe. Ich hatte mir überlegt, ob man an dieser Stelle irgendwas mit dem Mittelwertsatz oder so anfangen könnte. Jedoch hab ich keine Ahnung, wie ich genau weiter machen kann, bzw. ob meine Überlegenungen bis jetzt überhaupt zielführend waren.

Würde mich über Tipps oder Denkanstöße freuen.
Liebe Grüße und vielen Dank im voraus für jede Hilfe.





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6521
Herkunft: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

ist dir aufgefallen, dass der Term \(f'\cdot g-f\cdot g'\) genau der Zähler in der Ableitung der Funktion \(u(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\) ist?

Das ist vielleicht nicht der angedachte Weg, aber man kann da schon etwas daraus machen: dort, wo diese Funktion \(u\) definiert ist, kann sie jedenfalls keine (inneren) Extrema besitzen. Wenn du dir jetzt noch klarmachst, was eine Nullstelle von \(g\) für die Funktion \(u\) bedeutet...


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Differentialrechnung in IR' von Diophant]
\(\endgroup\)


Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Eostara hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Eostara wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]