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Differentialgleichungen » Partielle DGL » Sturm-Liouville Operator: Operator finden und Randbedingungen
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Universität/Hochschule J Sturm-Liouville Operator: Operator finden und Randbedingungen
math321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\lv}{\left\lvert} \newcommand{\rv}{\right\rvert} \newcommand{\lV}{\left\lVert} \newcommand{\rV}{\right\rVert} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)
Hallo!

Ich habe ein bisschen das Problem, den folgenden Operator als einen Sturm-Liouville Operator zu erkennen bzw. ist mir nicht klar, was hier passende Randbedingungen sind (und ob man überhaupt welche braucht).

Die Ausgangsgleichung ist
$$ u_t=u_{xx}+f(u),\qquad (x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}_{\geq 0}, u\in\mathbb{R}
$$ wobei $f$ eine Nichtlinearität darstellt. Wenn ich den 'travelling wave'-Ansatz mache, also eine Lösung der Form $u(x,t)=v(z)$ mit $z=x-st$ einsetze, bekomme ich die ODE
$$ 0=v_{zz}+sv_z+f(v).
$$
Wenn ich in $v$ linearisiere, lande ich schließlich bei der Gleichung
$$ 0=u_{zz}+su_z+f'(v)u.
$$
Als linearen Operator betrachte man nun
$$ L\colon H^2(\mathbb{R})\subset L^2(\mathbb{R})\to L^2(\mathbb{R}),\quad Lu=u_{zz}+su_z+f'(v)u.
$$
Wegen der Translationsinvarianz hat $L$ Eigenwert $\lambda=0$ mit zugehöriger Eigenfunktion $v'$.

Nun würde ich gerne zeigen, dass $\lambda=0$ einfacher Eigenwert ist und wüsste gerne, ob man das Problem als ein Sturm-Liouville Problem formulieren kann, sodass man den Spektralsatz benutzen kann (Alle Eigenwerte einfach, angeordnet etc.).

Geht das überhaupt, was sind Randbedingungen?
Wenn ich es korrekt erinnere, gilt der Spektralsatz nur für reguläre S-L-Probleme und die kenne ich nur mit Randbedingungen.



Über Hilfe würde ich mich freuen.

Grüße
\(\endgroup\)


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math321 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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