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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Kartesisches Produkt von Mengenfamilien
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Kein bestimmter Bereich Kartesisches Produkt von Mengenfamilien
katzenfreak
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  Themenstart: 2021-03-05

Hallo, ich melde mich noch einmal bzgl. einer Beweises, der mir in Sachen Notation etwas unklar ist. Gefragt wird nach einem Beweis für folgende Identität: \({\bigcap_{\alpha}A_{\alpha}}\times{\bigcap_{\beta}B_{\beta}}\)=\({\bigcap_{\alpha,\beta}A_{\alpha}\times}B_{\beta}\) Mein bisheriger "Beweis" gestaltet sich wie folgt: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54350_Beweis_I.JPG In dieser Form wird der Beweis wohl nicht korrekt sein, insbesondere, weil mir keine brauchbare Definition der Vereinigung eines Mengensystems in den Sinn gekommen ist. Daher habe ich, etwas von Verzweiflung getrieben, x\el\ cut(A_\alpha,\alpha) in \alpha\el\ I\and\ x\el\ A_\alpha umgeschrieben. Wie lässt sich der Beweis also sinnvoll führen und welche Definition der Vereinigung eines Mengensystems findet dabei Anwendung? Danke im Voraus, katzenfreak


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tactac
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Der Durchschnitt einer Mengenfamilie $(A_\alpha)_{\alpha \in I}$ ist so definiert, dass $$x \in \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \iff \forall \alpha \in I.\, x \in A_\alpha.$$ Und für eine doppelt indizierte Mengenfamilie $(C_{\alpha,\beta})_{\alpha\in I, \beta\in J}$ haben wir $$x \in \bigcap_{\alpha \in I, \beta \in J} C_{\alpha,\beta} \iff \forall \alpha \in I, \beta \in J.\, x \in C_{\alpha,\beta}.$$\(\endgroup\)


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katzenfreak
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06

@tactac Danke! Nur ist mir immer noch unklar, wie ich mit dieser Definition einen schlüssigen Beweis führen kann... Eine weitere Unklarheit: Laut meinem Lehrbuch durchlaufen die Indizes \(\alpha\) und \(\beta\) in der doppelt indizierten Menge das Kartesische Produkt der Indexmengen \(I \times J\). Hat jemand eine Idee oder Anregung für diesen Beweis? Zuhilf... LG, katzenfreak


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-06

https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805


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