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| Autor |
 Kartesisches Produkt von Mengenfamilien |
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katzenfreak
Junior 
Dabei seit: 01.03.2021
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2021-03-05
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Hallo,
ich melde mich noch einmal bzgl. einer Beweises, der mir in Sachen Notation etwas unklar ist. Gefragt wird nach einem Beweis für folgende Identität:
\({\bigcap_{\alpha}A_{\alpha}}\times{\bigcap_{\beta}B_{\beta}}\)=\({\bigcap_{\alpha,\beta}A_{\alpha}\times}B_{\beta}\)
Mein bisheriger "Beweis" gestaltet sich wie folgt:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54350_Beweis_I.JPG
In dieser Form wird der Beweis wohl nicht korrekt sein, insbesondere, weil mir keine brauchbare Definition der Vereinigung eines Mengensystems in den Sinn gekommen ist. Daher habe ich, etwas von Verzweiflung getrieben, x\el\ cut(A_\alpha,\alpha) in \alpha\el\ I\and\ x\el\ A_\alpha umgeschrieben.
Wie lässt sich der Beweis also sinnvoll führen und welche Definition der Vereinigung eines Mengensystems findet dabei Anwendung?
Danke im Voraus,
katzenfreak
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2206
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Der Durchschnitt einer Mengenfamilie $(A_\alpha)_{\alpha \in I}$ ist so definiert, dass
$$x \in \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \iff \forall \alpha \in I.\, x \in A_\alpha.$$
Und für eine doppelt indizierte Mengenfamilie $(C_{\alpha,\beta})_{\alpha\in I, \beta\in J}$ haben wir
$$x \in \bigcap_{\alpha \in I, \beta \in J} C_{\alpha,\beta} \iff \forall \alpha \in I, \beta \in J.\, x \in C_{\alpha,\beta}.$$\(\endgroup\)
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katzenfreak
Junior
Dabei seit: 01.03.2021
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06
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@tactac
Danke! Nur ist mir immer noch unklar, wie ich mit dieser Definition einen schlüssigen Beweis führen kann...
Eine weitere Unklarheit: Laut meinem Lehrbuch durchlaufen die Indizes \(\alpha\) und \(\beta\) in der doppelt indizierten Menge das Kartesische Produkt der Indexmengen \(I \times J\).
Hat jemand eine Idee oder Anregung für diesen Beweis?
Zuhilf...
LG,
katzenfreak
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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5777
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-06
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https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805
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| katzenfreak hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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