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Mathematik » Didaktik der Mathematik » -1*(-1)=1 Erklärung
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Universität/Hochschule -1*(-1)=1 Erklärung
WilliW
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  Themenstart: 2021-03-06

Hallo, wie kann man (anschaulich) erklären, dass -1*(-1)=1 Vielen Dank im voraus! :) VG WilliW


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-06

Hallo, da du im Didaktik-Forum gepostet hast: könntest du dein Anliegen einmal noch etwas präzisieren? Ich gehe einmal davon aus, dass du den Sachverhalt selbst verstanden hast aber auf der Suche bist nach geeigneten Analogien, um das plausibel zu machen. Dann wäre meine erste Frage, wer da so die Zielgruppe ist? Gruß, Diophant


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WilliW
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06

Hallo, genau ich habe es verstanden, aber mein Problem ist, dass ich es einem Schüler/ einer Schülerin nicht erklären könnte. Momentan lerne ich für eine Didaktikklausur an der Uni und stehe vor der Frage, wie ich das am Besten visuell darstellen kann. VG


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Wario
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-06

· Für Schüler ggf. ausreichend: (1) -a entspricht einem "Nein zu a". (2) -(-a) ist die Verneinung eines Neins ("Ich gehe nicht nicht zum Supermarkt"). Also -(-a) = a. (3) -a = (-1)·a (4) (-a) · (-b) = (-1)·a · (-b) = a·((-1)·(-b)) = a · (-(-b)) = a · b · Ausführlich und korrekt: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Folgerungen_aus_den_Körperaxiomen


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-06

Es kommt eben auch noch auf das Alter an. Ich habe früher viel Nachhilfe gegeben und gerne mit folgendem Gedankenexperiment gearbeitet: ich (bzw. ich habe meine Schüler da immer mit einbezogen und in der 'Wir-Form' gesprochen) habe eine Firma, und die Firma hat Schulden. Und zwar 1 Million Euro, um genau zu sein. In Millionen sind das dann eben die -1. Jetzt bekomme ich die Gelegenheit, die Firma zu verschenken (oder, falls die SuS dieses Konzept schon nachvollziehen können bzw. kennen) für einen symbolischen Preis zu verkaufen. In meine persönliche Buchhaltung müsste ich den Abgang des Firmenwerts ja mit einer negativen Zahl verbuchen. Man könnte auch sagen, wenn W der Wert der Firma ist, dann müsste in die Buchhaltung ein Abgang bzw. ein Betrag in Höhe von (-1)*W eingetragen werden (wobei in unserem Fall aber W=-1 ist!). So, jetzt resümieren wir einmal. Als ich die Firma noch besessen habe, hatte ich 1 Million Schulden. Nach dem Verschenken habe ich nix mehr, insbesondere keine Schulden. Ich habe also einen Gewinn von (-1)*(-1)=1 Million Euro gemacht! Das mag ziemlich konstruiert daher kommen (und ist es auch, um ehrlich zu sein). Es hat aber eigentlich meistens seinen Dienst getan: die Regel "Minus mal Minus gleich Plus" leuchtete den meisten Schüler*innen nach dieser Geschichte besser ein als vorher. Mit einer mathematischen Argumentation hat das jedoch nichts zu tun, das ist mir schon klar. Ich würde eine solche Analogie so grob zwischen Klasse 6 bis 9 für sinnvoll halten. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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WilliW
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06

Vielen Dank für Eure Antworten! :) VG WilliW


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tactac
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Vielleicht hilft auch das Betrachten der Graphen der Funktionen $f \colon \IR \to \IR$; $f(x) = ax$ mit variablem $a$. Wenn ihre Dynamik verstanden und akzeptiert wird, braucht man nur noch $a=-1$ zu setzen und die Funktion an der Stelle $x=-1$ auszuwerten.\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @tactac: \quoteon(2021-03-06 18:26 - tactac in Beitrag No. 6) Vielleicht hilft auch das Betrachten der Graphen der Funktionen $f \colon \IR \to \IR$; $f(x) = ax$ mit variablem $a$. Wenn ihre Dynamik verstanden und akzeptiert wird, braucht man nur noch $a=-1$ zu setzen und die Funktion an der Stelle $x=-1$ auszuwerten. \quoteoff Genau. Das wären dann so die Möglichkeiten, die man etwa ab der 9. Klasse zur Verfügung hätte. Davor sind aber Analogien aus dem Alltag (soweit möglich) i.d.R. schon sehr nützlich. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
lula
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-03-06

Hallo auch junge SuS sehen ein , daß 1*(-1)=(-1)*wir wollen dass das Assoziativgesetzt immer gilt: (-1)*(-1)=1 denn wenn ich es mit -1 multipliziere steht da (-1)*(-1)*(-1)=1 *(-1)=-1 also [(-1)*(-1)]*(-1)=-1 deshalb muss [--]=1 das ist besser als lange Geschichten . oder 0*(-1)=0 also (1-1)*(-1)=1*-1+(-1)*(-1)=-1+?=0 oder am Zahlenstrahl: Multiplikation mit -1 spiegelt an der 0 ich finde es besser Innermathematisch zu bleiben als negative Zahlen mit Schulden zu verbinden. Gruß lula


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tactac
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Was auch in allgemeinen Ringen funktioniert: (-1)*(-1) ist 1, weil allgemein $--x = x$ und $(-x)y = -(xy) = x(-y)$, was wiederum gilt, weil wegen der Distributivität Links- und Rechtsmultiplikation mit einem Element Halbgruppenendomorphismen auf der additiven Gruppe sind, und Halbgruppenhomomorphismen zwischen Gruppen das neutrale Element und Inverse erhalten.\(\endgroup\)


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pzktupel
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-03-06

...


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viertel
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-06

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Das mit der Spiegelung an der $0$ bei Multiplikation mit $(-1)$ erscheint mir am nachvollziehbarsten. Wenn akzeptiert ist, daß $5 \cdot (-1)=-5$ ist, dann müßte es ebenso einleuchten, daß $(-5) \cdot (-1)=5$ ist. Und wenn ich nun bei dieser Gleichung wiederum beide Seiten mit $(-1)$ multipliziere, dann habe ich: \[(-5) \cdot (-1)=5 \\ (-5) \cdot (-1) \cdot (-1)=5 \cdot (-1) \\ (-5) \cdot (-1) \cdot (-1)=-5 \] Damit bleibt aber nur die Option, daß \[(-1) \cdot (-1)=1\] gilt, damit auf der linekn Seite auch eine $-5$ steht. Oder kürzer und direkter: wenn \[(-5) \cdot (-1)=5\] ist, oder auch \[(-8) \cdot (-1)=8\] Dann kann ich statt der $5$ bzw. der $8$ auch eine $1$ schreiben: \[(-1) \cdot (-1)=1\] \(\endgroup\)


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reik
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-03-06

Spiegelung halte ich auch für eine gute Erklärung! Es schließt sich an die komplexe Betrachtungsweise mit Multiplikation als Drehung sauber an: $(-1) \cdot (-1) = e^{i\pi}\cdot e^{i\pi} = e^{i\cdot 2\pi} = 1$. Euler argumentiert mit Ausschlussverfahren in der Anleitung zur Algebra (ich bevorzuge eine englische Übersetzung für bessere Lesbarkeit): https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27767_Screenshot_from_2021-03-06_23-31-48.png https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27767_Screenshot_from_2021-03-06_23-32-18.png


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zippy
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-03-07

Als Ergänzung hier der entsprechende Abschnitt aus der Vollständigen Anleitung zur Algebra auf Deutsch: PS xkcd


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viertel
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Der (falsch notierte) Titel gibt eigentlich auch einen guten Hinweis. Denn er sollte natürlich $(-1) \cdot (-1)=1$ heißen. Dort steht aber $-1 \cdot (-1)=1$, was, um Klammern ergänzt, so zu lesen ist (Punkt vor Strich): \[\begin{align*} -1 \cdot (-1) &= -\Bigl(1*(-1)\Bigr) \\ &= -\Bigl(-1\Bigr) \\ &= 1 \end{align*}\] Denn $-(-1)=-1$ würde absolut keinen Sinn ergeben.\(\endgroup\)


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Kitaktus
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  Beitrag No.15, eingetragen 2021-03-08

Dass $-(-x)=x$ ist, wird hier so ganz selbstverständlich angenommen. Diesen Schritt würde ich aber noch mit einbeziehen. Ich würde anfangen mit der Frage: "Was ist $-x$?" Der Mathematiker würde sagen "Das ist die Inverse von $x$ bezüglich der Addition, also die Zahl, die man zu $x$ addieren muss, um $0$ zu erhalten. Es gilt also immer $x+(-x)=0$. Damit wird aber auch klar, was die Inverse von $-x$ ist. Welche Zahl muss ich zu $-x$ addieren, um $0$ zu erhalten? Das ist $x$! Es gilt also $-(-x)=x$. Im nächsten Schritt kann man sich fragen, was $(-1)\cdot x$ ist. Wegen $0\cdot x=0$ und $1\cdot x=x$ sagt uns das Assoziativgesetz: $0=0\cdot x=(1+(-1))\cdot x=1\cdot x + (-1)\cdot x= x+(-1)\cdot x$. $(-1)\cdot x$ ist also das additive Inverse von $x$, also $-x$. Damit hat man dann die beiden Schritte zusammen $(-1)\cdot(-1)=-(-1)=1$. Leider ist das ein rein innermathematischer Beweis. Wir haben gezeigt, wenn wir an Addition und Multiplikation bestimmte Anforderungen stellen (Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Existenz von 0- und 1-Elementen und additiven Inversen, ...), dann _muss_ $(-1)\cdot(-1)=1$ sein. Was wir nicht gezeigt haben: Beim Rechnen mit bestimmten physikalischen Größen (Längen, Flächen, Massen, Zeiten, Währungen, ...) _müssen_ die oben genannten Voraussetzungen (z.B. Assoziativgesetz) erfüllt sein. Diesen Nachweis kann die Mathematik auch nicht erbringen. Die Mathematik kann mir sagen, dass $1+1=2$ ist, aber ob $1mag+1mag=2mag$ (siehe hier) ist, kann mir die Mathematik nicht sagen, weil sie (von alleine) nicht weiß, welche Rechenregeln für scheinbare Helligkeiten gelten.


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Algebravo
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  Beitrag No.16, eingetragen 2021-04-17

(Ähnlich wie der Vorschlag von Diophant, aber auf noch weitere Rechengesetze in den ganzen Zahlen erweiterbar ^^) Ich kenne aus meiner eigenen Schulzeit noch das Arbeiten mit Schuld- und Gutscheinen. Da kann man auch ein schönes Gesellschaftsspiel draus basteln, das man einige Unterrichtsstunden spielen und untersuchen kann. Indem beispielsweise Ereigniskarten verwendet werden, nach dem Motto: „Du hast dein Getränk bei McDonalds nicht bezahlt. Nimm einen Schuldschein.“ Der Fantasie sind da keine Grenzen gesetzt. Es ist nur für die Auswertung wichtig, dass die Schüler*innen Buch über ihre Finanzen führen. Schüler*innen verstehen ziemlich schnell, dass EIN Schuldschein ein guter Platzhalter für die Zahl $-1$ ist. Wenn man dann im Laufe des Spiels einen Schuldschein abgibt (durch irgendeine Ereigniskarte), werden die Schüler*innen bemerken, dass ihr absolutes Guthaben um eine Einheit gestiegen ist. Also „Abgeben eines Schuldscheins“ gerade „$-(-1)=1$“ entspricht.


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Diophant
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  Beitrag No.17, eingetragen 2021-04-17

Noch ein Zusatz zu dem Thema: es ist irgendwie ja auch symptomatisch, dass die Frage im Rahmen der Vorbereitung auf eine Didaktik-Klausur aufgekommen ist und nicht aus einer realen Unterrichts-Situation heraus. Nach meiner Erfahrung aus mehr als 20 Jahren Nachhilfeunterricht (mit durchschnittlich 15-20 Schüler*innen pro Woche) ist das ein eher vernachlässigbares weil recht seltenes Problem. Und für diese eher seltenen Fälle hatte ich mir eben die Geschichte aus #4 vor Jahren ausgedacht... Gruß, Diophant


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SheepLon
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  Beitrag No.18, eingetragen 2021-07-21

\quoteon(2021-04-17 17:27 - Algebravo in Beitrag No. 16) Schüler*innen verstehen ziemlich schnell, dass EIN Schuldschein ein guter Platzhalter für die Zahl $-1$ ist. Wenn man dann im Laufe des Spiels einen Schuldschein abgibt (durch irgendeine Ereigniskarte), werden die Schüler*innen bemerken, dass ihr absolutes Guthaben um eine Einheit gestiegen ist. Also „Abgeben eines Schuldscheins“ gerade „$-(-1)=1$“ entspricht. \quoteoff Hier würde ich aufpassen, vor allem wenn es heißt "gebe einen Schuldschein zurück". Das erweckt sehr schnell das Bild, dass hier addiert/subtrahiert wird. Und dann haben wir die Aufgabe 34 - (-1) = 35. Aber ohne die gewünschte Multiplikation. Also ich hatte letztens diese Art "Schulden und Guthaben"-Spiel zur Erklärung genutzt. Set up: Alle SchülerInnen haben einen Punktestand von 0 zu Beginn des Spiels. Auf einem Tisch liegen Karten mit den Beschriftungen ..., -3, -2, -1, +1, +2, +3, ... JedeR SchülerIn darf sich immer 2 Karten nehmen (wie auch immer die Regel dafür ist, welche Karten man sich nehmen darf). Die erste Karte beschreibt, wie viele der zweiten Karten man nehmen/abgeben muss. Die zweite Karte beschreibt, wie viele Punkte man bekommt bzw. verliert. Die Variante gefällt mir jedoch besser als die Wörter Guthaben und Schulden zu nutzen. Ich habe das Gefühl, dass die SchülerInnen es dadurch besser verstehen. Beispiel (trivial): (+3) • (+2) bedeutet ich bekomme 3 mal eine "+2 Punkte"-Karte, also +6 Punkte. Beispiel: (-2) • (+5) bedeutet, ich muss 2 mal eine "+5 Punkte"-Karte weggeben. ich mache als -10 Punkte Beispiel: (-3) • (-2) bedeutet, ich muss 3 mal eine "-2 Punkte"-Karte weggeben. Ich bekomme also +6 Punkte, weil ich ja weniger Minuspunkte nun habe. Die Erklärung ist jetzt aus meinem Gedächtnis. Irgendwo zuahsue habe ich noch die konkrete Spielanleitung. Den SchülerInnen wird dadurch aber schnell ersichtlich, dass ich durch (-3) • (-2) Pluspunkte bekommen, dass das Ergebnis von "-" • "-" = "+" vom Vorzeichen her ist. Didaktisch gesehen ist es an der Stelle natürlich von besonderer Bedeutung, dass man immer ALLE Klammern setzt, sowie beim Ergebnis und den einzelnen Faktoren (vorerst) auch das Vorzeichen mitschreibt, selbst wenn's positiv ist.


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Wario
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-03-14

Vielleicht nochmal eine andere Plausibilisierung: \big\ Was ist "Minus mal Minus"? Was ist zum Beispiel im Falle (a-2) * (a-3) ? Eine Aufgabe aus der ca. 4., 5. oder 6. Klasse. (a-2) * (a-3) = a*a + (-3)*a + (-2)*a + (-2)*(-3) = a^2 -3a -2a + (-2)(-3) = ( a^2 \array(-)5a \array(+) \red\ (-2)(-3) \black\ )__ = (a-2) * (a-3) Nach der \stress\ Egomanenfraktion \normal\ ist nun \stress\ "Minus mal Minus wieder Minus" \normal\ \(Hinweis: falsche Regel\), also (a-2) * (a-3) = a^2 \array(-)5a\red\ -6 \black\ \stress Teste für a = 6: (a-2) * (a-3) = (6-2)*(6-3) = 4*3 = 12 \blue\ (offensichtlich richtig)\black\ != a^2 -5a -6 = 6^2 -5*6 -6 = 36 -30 \red\ \array(\red\-)6\black\ = 0 \blue\ (offensichtlich falsch)\black\ Richtig ist, mit der Regel \stress\ "Minus mal Minus gleich Plus" \normal\ (richtige Regel), (a-2) * (a-3) = a^2 \array(-)5a \array(+) \red\ (-2)(-3) \black\ = a^2 -5a \red\ \array(\red\+)6\black\ \black\ \stress Der Test a = 6: (6-2) * (6-3) = 12 = 6^2 -5*6 + 6 = 36 -30 + 6 = 6 \array(\red\+)6\black\ = 12.


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