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  Folgengrenzwerte auf dem Abschluss (war: "adherenz") |
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sulky
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Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1665
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Hallo zusammen,
Es gibt da einen Zusammenhang, dass wenn $f\in \overline{A}$ dann gibt es eine Folge $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ die nach $f$ konvergiert.
Ich errinnere mich daran dies gelesen zu haben, kann es aber nicht mehr finden. Aber der Reihe nach:
Sei $K$ ein topologischer Kompaktraum und $A$ eine Unteralgebra von $\mathcal{C}(K,\mathbb{R})$.
Zeige dass die Adherenz von $A$ eine Unteralgebra von $\mathcal{C}(K,\mathbb{R})$ ist bezüglich $\|\cdot\|_{\infty}$
Musterlösung:
Weil $A$ nicht leer ist, ist $\overline{A}$ auch nicht leer.
Sei $\lambda \in \mathbb{R}$ und $f,g\in \overline{A}$. Somit existieren Folgen $f_n$ und $g_n$ in $A$ sodass $\|f_n-f\|\to 0$ und $\|g_n-g\|\to 0$
Dies ist zwar offensichtlich, da aber diese Gegebenheit in der Fortsetzung des Beweises erneut verwendet wird, suche ich dennoch nach einem Satz, welcher die Existenz dieser Folgen sauber beschreibt.
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zippy
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-07
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2021-03-07 00:04 - sulky im Themenstart schreibt:
Zeige dass die Adherenz von $A$ ...
Das deutsche Wort für Adhérence ist Abschluss.
2021-03-07 00:04 - sulky im Themenstart schreibt:
suche ich dennoch nach einem Satz, welcher die Existenz dieser Folgen sauber beschreibt.
Das ist die Charakterisierung des Abschlusses in metrischen Räumen: Abschluss als Menge von Grenzwerten
--zippy
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sulky
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07
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super, vielen Dank Zippy,
Nun folgt dass $\|\lambda f_n+g_n -(\lambda f +g)\|\to 0$ und daher ist $\overline{A}$ schon mal ein Vektorraum.
Um die Stabilität bezüglich der Multiplikation zu zeigen muss
$\|f_ng_n-fg\|\le\|f_n-f\|\|g_n\|+\|f\|\|g_n-g\|$
gegen Null gehen.
Nun steht da:
Weil $g_n$ gleichmässig auf $K$ kompakt konvergiert ist $g_n$ auch gleichmässig beschränkt.
Dies war mir nicht bekannt. Wenn eine FOlge stetiger Funktionen auf einem Kompakt konvergiert, ist dann die Konvergenz bereits automatisch gleichmässig? Das wusste ich nicht. Stimmt das so wirklich?
Was bedeutet "gleichmässig beschränkt"?
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zippy
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Mitteilungen: 1995
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-07
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2021-03-07 11:21 - sulky in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn eine FOlge stetiger Funktionen auf einem Kompakt konvergiert, ist dann die Konvergenz bereits automatisch gleichmässig?
Du betrachtest hier ja nicht die punktweise Konvergenz, sondern die Konvergenz bezüglich der Maximumsnorm. Und die ist äquivalent zur gleichmäßigen Konvergenz.
2021-03-07 11:21 - sulky in Beitrag No. 2 schreibt:
Was bedeutet "gleichmässig beschränkt"?
Das bedeutet $|f_n(x)|\le C$ für alle $n$ und $x$ mit einer Konstanten, die weder von $n$ noch von $x$ abhängt. Und das ist äquivalent zur Beschränktheit bezüglich der Maximumsnorm, $\|f_n\|\le C$.
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sulky
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Mitteilungen: 1665
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07
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Ach so ja, jetzt sehe ich es.
Wenn man die Definition der Norm $\|\cdot\|_\infty$ ausschreibt, dann haben wir automatisch die gleichmässige Konvergenz.
Jetzt habe ich wieder echt etwas gelernt.
Vielen Dank Zippy
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