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Universität/Hochschule J Eine Identität für die komplexe Sinusfunktion
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Guten Abend

Aufgabe (Teil 1).
Nutze die Formel von De Moivre
    \[
        \forall \varphi \in \C \; \forall n \in \N : (\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi)^n = \cos(n\varphi) + \mathrm{i}\sin(n\varphi),
    \] um eine Formel für $\sin(5\varphi)$ herzuleiten.

Aufgabe (Teil 2).
Wenn $y:=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)$ (den exakten Wert dürfen wir nicht benutzen, denn den gilt es weiter unten auf dem Übungszettel herauszufinden), dann folgt aus Teil 1, dass
    \[
        y(16y^4-20y^2+5)=0.
    \]
Teil 1 sollte mein Serienpartner lösen; Teil 2 obliegt mir. Er kommt aber nicht vorwärts, und so möchte ich euch gerne fragen, ob ihr mir die Lösung für Teil 1 verraten könnt, sodass ich in der Zwischenzeit meinen Teil bearbeiten kann (es folgen anschliessend eben noch 4 weitere Teilaufgaben auf dem Übungszettel...).

Teil 1 könnte man doch allenfalls mittels
\[
\sin(5\varphi) = -\mathrm{i}(\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi)^5 + \mathrm{i}\cos(5\varphi)
\] lösen...? Das gibt mir allerdings (mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes)
\[
\sin(5\varphi) = \sin^{5}\varphi
        - 5\mathrm{i} \cos\varphi \sin^{4}\varphi
        - 10 \cos^2\varphi \sin^{3}\varphi
        + 10 \mathrm{i} \cos^3\varphi \sin^{2}\varphi
        + 5 \cos^4\varphi \sin\varphi
        - \mathrm{i}\cos^5\varphi
    + \mathrm{i}\cos(5\varphi)
\] was nicht weiterhilft.

Gruss Phoensie
\(\endgroup\)


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Caban
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Herkunft: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-07


Hallo

Bei Teil 1 würde ich den trigonometrischen Pythagoras anwenden.

Gruß Caban



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Für reelles $\varphi$ genügt es in Teil 1 die Imaginärteile der beiden Seiten der Formel von Moivre zu betrachten. Die so erhaltene Formel muss dann wegen des Identitätssatzes sogar für alle $\varphi \in \IC$ gelten.
\(\endgroup\)


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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Unter näherer Betrachtung (und Vergleich der Real- und Imaginärteile) komme ich für Teil 1 auf
\[
\sin(5\varphi)
        = \sin^{5}\varphi - 10 \cos^2\varphi \sin^{3}\varphi + 5 \cos^4\varphi \sin\varphi.
\]
\(\endgroup\)


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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Für Teil 2 folgt mit dieser Formel und $y^2 = 1 - \cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)$, dass
\[
    \begin{align*}
        0
        &= \sin(\pi) \\
        &= \sin\left( 5 \cdot \frac{\pi}{5} \right) \\
        &= \sin^{5}\left( \frac{\pi}{5} \right) - 10 \cos^2\left( \frac{\pi}{5} \right) \sin^{3}\left( \frac{\pi}{5} \right) + 5 \cos^4\left( \frac{\pi}{5} \right) \sin\left( \frac{\pi}{5} \right) \\
        &= \sin^{5}\left( \frac{\pi}{5} \right) - 10 \left( 1 - \sin^2\left( \frac{\pi}{5} \right) \right) \sin^{3}\left( \frac{\pi}{5} \right) + 5 \left( 1 - \sin^2\left( \frac{\pi}{5} \right) \right)^2 \sin\left( \frac{\pi}{5} \right) \\
        &= y^5 - 10 \left( 1 - y^2 \right) y^3 + 5 \left( 1 - y^2 \right)^2 y \\
        &= y^5 - 10y^3 + 10y^5 + 5 \left( 1 - 2y^2 + y^4 \right) y \\
        &= y^5 - 10y^3 + 10y^5 + 5y - 10y^3 + 5y^5 \\
        &= 16y^5 - 20y^3 + 5y \\
        &= y(16y^4 - 20y^2 + 5).
    \end{align*}
\] Das war gerade die gesuchte Gleichheit.
\(\endgroup\)


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