Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von mire2 StrgAltEntf
Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Notation bei unendlichen mengentheoretischen Produkten
Autor
Universität/Hochschule Notation bei unendlichen mengentheoretischen Produkten
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 948
  Themenstart: 2021-03-11

Hallo, ich habe schon oft gesehen, dass geschrieben wird ,,aus \(\prod_{i\in \IN} X_i \) nehme man eine Teilmenge \(\prod_{i\in \IN} A_i \) mit \(A_i \subset X_i\) und nur endlich viele $i\in \IN$ mit $A_i \neq X_i$." Das wurde dann oft geschrieben als: $J\subset \IN$ sei endlich dann hat die Menge die Form $\prod_{j\in J} A_j \times \prod_{i\in \IN\setminus J} X_i $. Das wurde etwa auch hier von Triceratops in Beitrag 3 geschrieben. Ich hab das immer als falsch empfunden wegen der Reihenfolge der Produkte und es formal (aber umständlicher) umgeschrieben als: $X$ Vereinigung von den $X_i$ und $\lbrace f:\IN \to X \mid f(i)\in X_i \land ... \rbrace$ usw. einfach eben die formale Definition von unendlichen Produkten bzgl. Mengen. und alles dies bezüglich umgeschrieben. Meine Frage: Wenn man die Schreibweise oben benutzt, die ich oft sehe, dann wird einfach nur insgeheim die formale korrekte Defintion damit bezeichnet oder? Und die Idee warum man diese Schreibweise benutzt ist doch, dass man sie einfach viel besser lesen kann und so sich auf das wesentliche konzentrieren kann, oder?


   Profil
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7162
Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-11

Hallo Red_ \quoteon(2021-03-11 16:27 - Red_ im Themenstart) Das wurde dann oft geschrieben als: $J\subset \IN$ sei endlich dann hat die Menge die Form $\prod_{j\in J} A_j \times \prod_{i\in \IN\setminus J} X_i $. ... Ich hab das immer als falsch empfunden wegen der Reihenfolge der Produkte \quoteoff Das sehe ich genauso. Das ist wohl etwas schlampig.


   Profil
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1463
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-11

Hi, diese Objekte sind (kanonisch) isomorph, deshalb ist die Notation oft/meistens ok. Abgesehen davon, stimme ich dir (wie es meistens der Fall ist ;-)) in jedem Punkt zu.


   Profil
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 948
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-11

Hey Kezer, das mit dem Isomorphismus habe ich mir auch überlegt, aber die Sache ist, dass ein fixierter Isomorphismus nicht alle endlichen Indexmengen $J$ respektiert, wenn ich mich nicht irre. D.h. für jede Indexmenge $J$ müsste man einen eigenen (kanonischen) Isomorphismus betrachten.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5777
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-11

1. Produkte, die über Indexmengen indiziert sind, haben keine Reihenfolge. Du solltest auch vom Fall $\IN$ (diese Menge ist "zufällig" angeordnet) abstrahieren und für die Fragestellung hier eine beliebige Indexmenge in Betracht ziehen (schon alleine damit du zwischen der geordneten Menge $(\IN,\leq)$ und der Menge $\IN$ besser unterscheiden kannst; hier geht es nur um die Menge!). 2. Natürlich ist hier natürliche Isomorphie gemeint (was sonst? Produkte sind nur bis auf Isomorphie eindeutig). Konkret: Wenn $A \subseteq X$ und $ B \subseteq Y$, dann gibt es nur eine natürliche Abbildung $A \times B \to Y \times X$. Dass diese Abbildung etwas umordnet, ist nicht falsch, sondern gewollt und erzwungen.


   Profil
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 948
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-11

Hey Triceratops, zu 1): Dass $\IN$ zufällig angeordnet ist ist ein sehr guter Punkt. Abstrakte Indexmenge habe ich eigentlich wohl verstanden und in diesem Thread extra $\IN$ genommen, weil ich dachte man meint beim kartesischen Produkt über $\IN$ Tupel der form $(a_1,a_2,...)$, da ich das so oft bei Wikipedia gelesen habe. 2) Meinst du wir sollten das Wort ,,kanonisch" durch ,,natürlich" ersetzen? Edit: Ah ok, dein Edit ergibt nun viel mehr Sinn, danke! Könntest du bitte noch den Part erläutern, dass es nur eine natürliche Abbildung gibt? Natürlich im Sinne der Kategorientheorie? Wenn ja, wie? Und vielleicht noch was, was jeden interessieren könnte und helfen könnte: Woher weißt du eigentlich immer diese ganzen Formalitäten und was wie eigentlich gemeint wird etc. ?


   Profil
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7162
Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-11

Hallo Triceratops, \quoteon(2021-03-11 21:59 - Triceratops in Beitrag No. 4) 2. Natürlich ist hier natürliche Isomorphie gemeint (was sonst? Produkte sind nur bis auf Isomorphie eindeutig). \quoteoff \(A\times B\) und \(B\times A\) ist doch i. Allg. etwas anderes. Da kann man doch nicht einfach sagen, dass es gleich ist, weil es "isomorph" ist. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


   Profil
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 948
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-11

\quoteon(2021-03-11 22:11 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6) Hallo Triceratops, \quoteon(2021-03-11 21:59 - Triceratops in Beitrag No. 4) 2. Natürlich ist hier natürliche Isomorphie gemeint (was sonst? Produkte sind nur bis auf Isomorphie eindeutig). \quoteoff \(A\times B\) und \(B\times A\) ist doch i. Allg. etwas anderes. Da kann man doch nicht einfach sagen, dass es gleich ist, weil es "isomorph" ist. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.] \quoteoff Meine Gedanken hierzu wären, dass der Isomorphismus ein eindeutiger Isomorphismus wäre in der richtigen Kategorie (Morphismen kommutieren noch mit den Projektionen), s.d. Objekte mit einem eindeutigen Isomorphismus nahezu als gleich angesehen werden können, da man hin und her "übersetzen" kann und nur einen Isomorphismus zur Auswahl hat, s.d. man diese Objekte nur in einer einzigen Weise identifizieren kann. Wir Triceratops einmal so schön sagte ,,mengentheoretische Inklusionen sind in der Mathematik außerhalb der Mengenlehre praktisch nutzlos und sollten durch Monomorphismen ersetzt werden." D.h. das Objekt oben im Startbeitrag ist nicht direkt eine Inklusion, sondern erst nach Anwenden des Isomorphismus.


   Profil
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7162
Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.8, eingetragen 2021-03-11

\quoteon(2021-03-11 22:24 - Red_ in Beitrag No. 7) Wir Triceratops einmal so schön sagte ,,mengentheoretische Inklusionen sind in der Mathematik außerhalb der Mengenlehre praktisch nutzlos und sollten durch Monomorphismen ersetzt werden." \quoteoff Das ist mir ehrlich gesagt zu hoch - dem kann ich nicht folgen. Ich habe in meiner Ausbildung Mengenlehre gelernt. Möglicherweise ist das mittlerweile alles überholt.


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5777
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-11

\quoteon(2021-03-11 22:24 - Red_ in Beitrag No. 7) D.h. das Objekt oben im Startbeitrag ist nicht direkt eine Inklusion \quoteoff Mit dem "richtigen" Begriff von Inklusion schon 😉, aber das sagtest du ja bereits. Deine anderen Fragen kann ich nicht beantworten, weil sie zu unkonkret sind. \quoteon(2021-03-11 22:11 - StrgAltEntf in Beitrag No. 6) \(A\times B\) und \(B\times A\) ist doch i. Allg. etwas anderes. Da kann man doch nicht einfach sagen, dass es gleich ist, weil es "isomorph" ist. \quoteoff Nun, sollte es überhaupt möglich sein, zwei (im Kontext voneinander unabhängige) Mengen $A,B$ miteinander gleichzusetzen, also überhaupt die Formel $A=B$ zu bilden? Wenn man nur an materielle Mengenlehren denkt wie etwa ZFC, denkt man vermutlich "Natürlich, sie sollen halt dieselben Elemente haben". (Und dann ist tatsächlich $A \times B = B \times A$ eine erlaubte Formel, die in der Regel falsch ist.) Tatsächlich kommt die Formel $A=B$ aber (wie gesagt, wenn $A,B$ voneinander unabhängig sind) in der Praxis abseits der materiellen Mengenlehre selbst nicht vor. In strukturellen Mengenlehren wie ETCS oder SEAR (siehe auch mein Artikel https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1763) ist die Formel nicht zu bilden, und man verliert trotzdem keine Mathematik dadurch. Also, nichts gegen Mengenlehre. Aber es sollte vielleicht (meiner Meinung nach) eine sein, die eher an die sonstige mathematische Praxis anknüpft. Wenn man zwei Mengen miteinander vergleichen möchte, die völlig unabhängig voneinander sind, sollte man nach einem Isomorphismus (Bijektion) $A \longrightarrow B$ suchen. Und wenn $A,B$ bereits als Unterobjekte (Teilmengen) einer Menge $X$ gegeben sind (hier gibt es also einen gemeinsamen Kontext sozusagen, und $A,B$ wären auch zumindest in SEAR nicht mehr vom Typ 'Menge', sondern vom Typ 'Teilmenge von $X$'), so meint man mit $A=B$ ja noch etwas viel stärkeres, nämlich dass es einen Isomorphismus $A \longrightarrow B$ gibt, der mit den beiden Inklusionen nach $X$ verträglich ist. $\begin{tikzcd} A \ar{rr}{\sim} \ar{dr} && B \ar{dl} \\ & X & \end{tikzcd}$ Zum Beispiel ist es in diesem Sinne eine sinnvolle Aussage, $\IN \times \IZ \neq \IZ \times \IN$ als Teilmengen von $\IR \times \IR$ zu schreiben. (Ich gehe davon aus, dass du an diesen Fall gedacht hast.) Aber wenn $A,B$ beliebige Mengen sind, so ergibt die Aussage $A \times B \neq B \times A$ in einer strukturellen Mengenlehre keinen Sinn, aber es gilt eben $A \times B \cong B \times A$; ja es gibt sogar genau einen Morphismus $A \times B \to B \times A$, der natürlich in $A$ und $B$ ist. Übrigens: In der Homotopietypentheorie gilt wegen des Univalenzaxioms sogar $A \times B = B \times A$ für alle Typen $A,B$ (Details im nächsten Post von tactac).


   Profil
tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2206
  Beitrag No.10, eingetragen 2021-03-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) \quoteon(2021-03-11 22:53 - Triceratops in Beitrag No. 9) Übrigens: In der Homotopietypentheorie gilt wegen des Univalenzaxioms sogar $A \times B = B \times A$ für alle Typen $A,B$. \quoteoff Die Verwendung des Verbs "gelten" suggeriert, dass der Typ $A \times B = B \times A$ eine "mere proposition" ist, was i.A. nur für die Identitätstypen zwischen Elementen von "Mengen" stimmt (per Definition; also $A$ "ist eine Menge", gdw. der Typ $$\prod_{(x,y\colon A)}\prod_{(p,q\colon x = y)}p=q$$ bewohnt ist). Der Typ $A \times B = B \times A$ ist äquivalent zum Typ der Äquivalenzen zwischen $A \times B$ und $B \times A$.\(\endgroup\)


   Profil
Triceratops
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5777
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-12

@tactac: Danke für den Zusatz. Das war mir beim Posten schon bewusst, und ich war schon kurz davor, zu schreiben "Der Typ $A \times B = B \times A$ ist bewohnt", wollte es dann aber sprachlich so vereinfacht lassen.


   Profil
Red_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]