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| Autor |
 Warum sind die Vektoren so? |
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Chinqi
Aktiv 
Dabei seit: 21.02.2021
Mitteilungen: 487
 |  Themenstart: 2021-03-15
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Aufgabe: Die Grundfläche einer Pyramide ABCDS ist ein Viereck ABCD mit A(-1/-3/-1), B(1/-5/0), C(3/-1/4), D(1/1/3) S(-3/-7/4)
z.B. beim Vektor BC = muss man C-B rechnen.
oder auch bei AB = B-C
Warum muss man aber bei CD = D - C rechnen um den Vektor zu bekommen?
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10532
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-15
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Hallo,
\quoteon(2021-03-15 18:20 - Chinqi im Themenstart)
Warum muss man aber bei CD = D - C rechnen um den Vektor zu bekommen?
\quoteoff
Denke dir den Vektor als Pfeil. Damit die Pfeilspitze vom ersten zum zweiten Punkt zeigt, muss man die Differenz so herum ausrechnen.
Mache dir dazu am besten erst einmal klar, warum man überhaupt den Vektor zwischen zwei Punkten durch Subtraktion erhält.
Und nochmal: deine Fragen gehören in das Forum 'Schulmathematik' und nicht nach 'Geometrie'.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Geometrie' in Forum 'Analytische Geometrie' von Diophant]
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Chinqi
Aktiv
Dabei seit: 21.02.2021
Mitteilungen: 487
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-15
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Könntest du mir das bitte erläutern warum man überhaupt den Vektor zwischen zwei Punkten durch Subtraktion erhält.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10532
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-15
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Hallo,
das macht doch keinen Sinn. Das musst du versuchen, dir selbst klarzumachen. Du wirst doch ein Schulbuch haben, wo das ausführlich dargestellt ist?
Auch bei Wikipedia kann man es nachschlagen...
Gruß, Diophant
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7089
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-17
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Das sich der Vektor CD als Differenz der Ortsvektoren D und C ergibt, kann man sich so klar machen:
Ich bin in C und will nach D. Statt des direkten Weges gehe ich über den Koordinatenursprung O. Ich laufe also von C nach O und von O nach D. Es gilt also: CD = CO + OD
Dabei ist CO genau entgegengesetzt zu OC, also CO = -OC.
Das ergibt dann CD = -OC + OD. Benutzt man jetzt noch die Schreibweise, die einen Punkt mit seinem Ortsvektor gleichsetzt, erhält man CD = D - C.
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Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1114
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-17
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| \quoteon(2021-03-15 18:20 - Chinqi im Themenstart)
z.B. beim Vektor BC = muss man C-B rechnen.
oder auch bei AB = B-C (vermutlich 'A' gemeint)
\quoteoff
Das ist die schlampige Schreibweise für $
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} -\overrightarrow{OA}$ bzw. für schlampige Leute, die sagen, dass das eh auf's gleiche rauskommt, ob man
$A - B$ (Punkte) oder $\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OB}$ (Vektoren) rechnet.
Man kann es aber auch sauber machen und Punkte als Positionsangaben, Vektoren als Rechengrößen interpretieren.
Warum die Regel überhaupt gilt, folgt sofort aus der Definition der Vektoraddition. In der üblichen Notation:
$
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily,
>=latex,
>={Triangle[length=0pt 9,width=0pt 3.5]},
]
\pgfmathsetlengthmacro\R{1.25pt}
\pgfmathsetlengthmacro\S{0.5*\R+1*\pgflinewidth}
\coordinate[label=below:$O$] (O) at (0,0);
\coordinate[label=below:$A$] (A) at (3,1);
\coordinate[label=$B$] (B) at (2,3);
\draw[->, shorten >=\S] (O) -- (A) node[midway, below, sloped]{$
\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$};
\draw[->, shorten >=\S] (O) -- (B) node[midway, above, sloped]{$
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$};
\draw[->, shorten >=\S] (A) -- (B) node[midway, right=3pt]{$
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{v}$};
\foreach \P in {O,A,B} \draw[fill=black!1] (\P) circle (\R);
\node[align=left, anchor=north west, xshift=25mm] at (B) {
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{b}
~\Leftrightarrow~
\overrightarrow{v} = \overrightarrow{b} -\overrightarrow{a}$ \\[1em]
oder in der Punktnotation: \\[1em]
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}
~\Leftrightarrow~
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} -\overrightarrow{OA}$
};
\end{tikzpicture}
$
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7089
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-17
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Ich störe mich etwas an dem Wort "schlampig". Bei der Schreibung von Ortsvektoren auf das O zu verzichten ist nicht schlampig, sondern einfach eine abkürzende Schreibweise [die natürlich in einem vollständigen Lehrbuch irgendwo mal eingeführt werden muss].
Eine Unterscheidung zwischen Punkten und ihren Ortsvektoren kann man natürlich aufrecht erhalten (in der Schule wird das meines Wissens nach auch gemacht), es ist aber nicht "schlampig" diese Unterscheidung aufzugeben und Punkte mit ihren Ortsvektoren zu "identifizieren". Das ist nicht das Gleiche wie "gleichsetzen".
Ein Beispiel: Ich als Person bin natürlich keine Folge von Buchstaben, auch wenn diese zusammen meinen Namen ergeben. Ich bin also nicht "Kitaktus" [als Kette von Buchstaben gesehen]. Trotzdem ist es nicht "schlampig" zu schreiben "Ich bin Kitaktus.", weil wir alle das gemeinsame Verständnis haben, Personen mit ihren Namen zu "identifizieren".
Ein zweites Beispiel aus der Mathematik: Brüche sind formal geordnete Paare ganzer Zahlen $(z, n)$ typischerweise geschrieben als $\frac{z}{n}$ (*), wobei $n$ nicht $0$ sein darf. Damit ist $\frac{3}{1}$ nicht das "Gleiche" wie $3$. Das eine ist eine ganze Zahl und das andere ist ein Paar ganzer Zahlen. Trotzdem ist es absolut sinnvoll, die ganze Zahl $z$ mit dem Bruch $\frac{z}{1}$ zu identifizieren, sonst dürfte ich so etwas wie $\IN\subset\IZ\subset\IQ$ gar nicht schreiben.
Bei der formalen Definition von Zahlbereichen wird das auch gemacht, aber so eine formale Herangehensweise ist für Schüler nicht geeignet.
Bei der Frage "Ist ein Punkt das Gleiche wie sein Ortsvektor?" merkt man dann, dass dieser Formalismus fehlt.
(*) Um exakt zu sein, muss man noch sagen, dass der Bruch $\frac{z}{n}$ für eine ganze Klasse von Paaren $(z',n')$ steht, nämlich für all die Paare, für die $zn'=z'n$ gilt.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4422
 | Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-17
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\quoteon(2021-03-17 09:16 - Kitaktus in Beitrag No. 6)
Eine Unterscheidung zwischen Punkten und ihren Ortsvektoren kann man natürlich aufrecht erhalten (in der Schule wird das meines Wissens nach auch gemacht), es ist aber nicht "schlampig" diese Unterscheidung aufzugeben und Punkte mit ihren Ortsvektoren zu "identifizieren".
\quoteoff
In einem affinen Raum $A$ mit dem zugehörigen Translationsvektorraum $T$ hat man Abbildungen $A\times A\to T$ und $T\times A\to A$. Die erste dieser Abbildung kann man bedenkenlos als Differenz zweier Punkte schreiben, selbst wenn man die Unterscheidung zwischen Punkten und Ortsvektoren nicht aufgeben mag.
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| Chinqi hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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