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Analysis » Maßtheorie » Fortsetzen eines W-Maßes durch Nullsetzen?
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Universität/Hochschule J Fortsetzen eines W-Maßes durch Nullsetzen?
math321
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  Themenstart: 2021-03-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\lv}{\left\lvert} \newcommand{\rv}{\right\rvert} \newcommand{\lV}{\left\lVert} \newcommand{\rV}{\right\rVert} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\) Guten Tag! Ich habe eine eher naive Frage zur Maß- bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie. Angenommen, ich habe einen Messraum $(\Omega,\mathcal{A})$ sowie eine Teilmenge $X\subset\Omega$ mit der Spur-$\sigma$-Algebra $\mathcal{A}_{|X}$ und einem Wahrscheinlichkeitsmaß $\lambda\colon\mathcal{A}_{|X}\to [0,1]$, also den Wahrscheinlichkeitsraum $(X,\mathcal{A}_{|X},\lambda)$. Kann ich dann das W-Maß $\lambda$ fortsetzen zu einem W-Maß $\nu$ auf $(\Omega,\mathcal{A})$, indem ich setze $$ \nu(A):=\nu(A\cap X)=\lambda(A),\qquad A\in\mathcal{A}, $$ was anders formuliert bedeutet, dass ich wegen $\nu(A)=\nu(A\cap X)+\nu(A\cap X^C)$ für alle $A\in\mathcal{A}$ setze, dass $\nu(A\cap X^Z)=0$? Definiert dies ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega,\mathcal{A}$)? Liebe Grüße🤔\(\endgroup\)

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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-20

Die Einbettung $\iota\colon X\to\Omega$ ist wegen $\iota^{-1}(A)=A\cap X\in \mathcal A|_X$ für $A\in\mathcal A$ messbar. Also ist dein $\nu$ einfach das Bildmaß von $\lambda$ unter $\iota$. --zippy

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math321
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Dabei seit: 19.02.2021
Mitteilungen: 26
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-20

Hallo, zippy! Danke für deine schnelle Antwort! Ich hatte es "irgendwie im Gefühl", dass die Fortsetzung funktioniert, aber wollte es gerne formal bestätigt haben. Schön, daß es klappt. Liebe Grüße

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math321 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
math321 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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