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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Vergissfunktor und Inklusion gleich?
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Universität/Hochschule J Vergissfunktor und Inklusion gleich?
Red_
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  Themenstart: 2021-03-23

Hallo, ich habe gerade eine Stelle im Artikel Vergissfunktoren von Martin_Infinite hier gefunden, die mir eine Frage aufwirft. Es steht geschrieben ,,Der Vergissfunktor $\mathsf{Ab} \to \mathsf{Grp}$ sollte nicht mit einer Inklusion bzw. einer Unterkategorie verwechselt werden." Aber wenn man sich die beiden Funktoren anschaut, dann sind sie doch praktisch gleich. Ich sehe, dass die Idee hinter den Funktoren anders ist (das eine vergisst die Kommutativität und das andere sagt sozusagen die Kommutativität ist nur eine Bedingung mehr in den Axiomen, sodass wir eine Einbettung erhalten). Aber wenn ich mich nicht irre bilden beide Funktoren genau dasselbe auf dasselbe ab. Liege ich falsch? Oder warum sollte man die Funktoren als ungleich betrachten (obwohl sie ja doch gleich sind, wenn ich mich nicht irre). Edit: Mir wurde von Kezer auch folgender Beitrag bei StackExchange gezeigt, wo Martin geantwortet hat, jedoch leider nicht meine Frage beantwortet.


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Red_
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-23

Ich und Kezer haben über diese Frage diskutiert. Kezer hatte folgende Idee, wie Triceratops es gemeint haben kann und es ergibt in meinen Augen auch Sinn: Die Funktoren sind nicht gleich, weil sie von unterschiedlichen Kategorien abbilden. Ich habe gedacht, dass es die gleiche Kategorie ist, da überall steht, dass $\textrm{Ab}$ die volle Unterkategorie von $\textrm{Grp}$ ist, wobei die Objekte noch ein zusätzliches Axiom erfüllen (die Kommutativität). Was Kezer sagte ist, dass Martin es so nicht will. $\textrm{Ab}$ soll als eine eigenständige Kategorie angesehen werden (als eine Art eigenes Universum) und die Unterkategorie von $\textrm{Grp}$ auch als ein eigenes Universum. Damit würde es auch Sinn machen zu sagen, ob wir eine abelsche Gruppe haben (also in $\textrm{Ab}$ liegt) oder ob die Gruppe nur zufällig abelsch ist (also in der Unterkategorie von $\textrm{Grp}$ liegt). Im Link oben sagt Martin auch: ,,In category theory a mathematical object is not regarded as a set with extra structure, but rather as an object of a fixed category.''1 Warum die Kategorien anders sind kann man sich so klar machen: bei $\textrm{Ab}$ fügen wir ein Axiom hinzu und wollen, dass es erfüllt ist. Bei der Unterkategorie von $\textrm{Grp}$ fügen wir kein Axiom hinzu, sondern picken uns einfach diejenigen aus, die es erfüllen, aber in dem "Quellcode" steht nicht drin, dass diese Gruppen abelsch sind. Es ist eine Art Feature. Worauf es hinausläuft ist einfach zu sagen, in welcher Kategorie man Produkte und Koprodukte bildet... oder andere universelle Eigenschaften, da die umgebenden Objekte in der Kategorie in der Definition auftauchen (siehe Koprodukt in $\textrm{Grp}$ und $\textrm{Ab}$). 1 Das soll man nicht falsch verstehen. Wenn eine Menge geben ist mit einer Struktur, dann solle man es nicht dabei belassen und es "für immer" als Objekt eine fixierten Kategorie ansehen. Beachte dass in anderen Gebieten der Mathematik nach "Extra-Struktur'' gesucht wird, je mehr desto besser (z.B. elliptische Kurven sind nicht nur Lösungsmengen von einer Gleichung, sondern bilden eine abelsche Gruppe; bestimmte Ringe sind nicht nur Ringe, sondern manchmal auch $K$-Algebren. Letzteres war einmal sehr hilfreich bei einer Aufgabe, wo man Isomorphie zeigen musste und für die Surjektivität keinen Plan hatte, aber dann gesehen hat, dass beide Ringe endlich dimensionale $K$-Algebren sind, sodass man die Vektorraumtheorie mit anwenden kann, insbesondere den Rangsatz).


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-24

Zunächst einmal fehlt hier ein wichtiger Teil des Kontextes; den hast du nicht mitzitiert. Hier der gesamte Absatz: \quoteon (Artikel 'Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden') Einer von zahlreichen Gründen ist der folgende: Viele Konstruktionen hängen - vor allem - von der umgebenden Kategorie ab. So ist das Koprodukt von einer Familie von Gruppen etwa, leider auch als freies Produkt bekannt, selbst wenn die beteiligten Gruppen abelsch sind, etwas völlig anderes als das Koprodukt der zugehörigen abelschen Gruppen, üblicherweise als direkte Summe bekannt. Es lohnt sich daher, abelsche Gruppen und Gruppen, die "zufälligerweise" abelsch sind, voneinander zu unterscheiden! Der Vergissfunktor $\mathsf{Ab} \to \mathsf{Grp}$ sollte nicht mit einer Inklusion bzw. einer Unterkategorie verwechselt werden. Noch ein krasses Beispiel: $2 : \mathds{Z} \to \mathds{Z}$ ist ein Epimorphismus in der Kategorie der torsionsfreien Gruppen, aber natürlich nicht in der Kategorie aller Gruppen! \quoteoff Ich denke, das beantwortet deine Frage bereits, und du hast in Beitrag 1 das auch noch einmal wiederholt. Außerdem hat mich verwirrt, dass du in deiner Frage die ganze Zeit von zwei Funktoren sprichst und dich fragst, warum sie nicht gleich sind. Um welche zwei Funktoren geht es denn? Im Kontext ist erst einmal nur von dem Vergissfunktor $U : \mathbf{Ab} \to \mathbf{Grp}$ die Rede. Meinst du vielleicht noch den Inklusionsfunktor $I : \mathbf{Grp}_{\mathrm{ab}} \to \mathbf{Grp}$, wobei $\mathbf{Grp}_{\mathrm{ab}}$ die volle Unterkategorie von $\mathbf{Grp}$ ist, die aus den abelschen Gruppen besteht. Dann gilt im ziemlich wörtlichen Sinne $\mathbf{Grp}_{\mathrm{ab}} = \mathbf{Ab}$ und $U=I$, wie du es ja schon gesagt hast. Aber wie gesagt, in dem Kontext ist nur von einem Funktor die Rede. Es wird lediglich gesagt, dass zwischen einer abelschen Gruppe $A \in \mathbf{Ab}$ und ihrem Bild $U(A) \in \mathbf{Grp}$ unterschieden werden sollte, weil es sonst bei kategoriellen Konstruktionen zu Unstimmigkeiten kommen könnte. Beziehungsweise die ganze Prämisse des Artikels ist ja, dass verschiedene Kategorien "disjunkt" sein sollen. PS: Ich merke gerade, dass man das als einen Widerspruch interpretieren könnte, weil ich einerseits sage, dass $U(A)=I(A)=A$, andererseits $U(A)$ und $A$ unterschiedlich sein sollen. Das sind sie auch. Genauer gesagt sollte man sagen, dass es einen Isomorphismus von Kategorien $\mathbf{Ab} \cong \mathbf{Grp}_{\mathrm{ab}}$ gibt, unter dem sich $U$ und $I$ einander entsprechen. Deutlicher wird das vielleicht auch, wenn man die Kategorien als Typen deutet (auch um die Disjunktheit zu betonen). Für jede Gruppe $G : \mathbf{Grp}$, die abelsch ist, gibt es also genau eine abelsche Gruppe $A : \mathbf{Ab}$ mit $U(A)=G$. (Und die übliche mathematische Praxis ist, $A=G$ zu schreiben.)


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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-24

\quoteon(2021-03-23 19:09 - Red_ in Beitrag No. 1) 1 Das soll man nicht falsch verstehen. Wenn eine Menge geben ist mit einer Struktur, dann solle man es nicht dabei belassen und es "für immer" als Objekt eine fixierten Kategorie ansehen. Beachte dass in anderen Gebieten der Mathematik nach "Extra-Struktur'' gesucht wird, je mehr desto besser (z.B. elliptische Kurven sind nicht nur Lösungsmengen von einer Gleichung, sondern bilden eine abelsche Gruppe; bestimmte Ringe sind nicht nur Ringe, sondern manchmal auch $K$-Algebren. Letzteres war einmal sehr hilfreich bei einer Aufgabe, wo man Isomorphie zeigen musste und für die Surjektivität keinen Plan hatte, aber dann gesehen hat, dass beide Ringe endlich dimensionale $K$-Algebren sind, sodass man die Vektorraumtheorie mit anwenden kann, insbesondere den Rangsatz). \quoteoff Das betrachte ich anders. Die Objekte bleiben in ihren Kategorien. Was du aber machst, ist für dein Objekt $A \in \mathcal{D}$ einen Vergissfunktor $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ zusammen mit einem Urbild $A' \in \mathcal{C}$ zu finden, was dann in der Regel praktisch ist, weil $A'$ mehr Struktur besitzt, womit man etwas anfangen kann. In dem von dir genannten Beispiel hat man sogar einen Span $\begin{tikzcd} & \mathbf{Alg}_K \ar[dr] \ar[dl] & \\ \mathbf{Ring} && \mathbf{Vect}_K \end{tikzcd}$


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\quoteon Meinst du vielleicht noch den Inklusionsfunktor $I : \mathbf{Grp}_{\mathrm{ab}} \to \mathbf{Grp}$, wobei $\mathbf{Grp}_{\mathrm{ab}}$ die volle Unterkategorie von $\mathbf{Grp}$ ist, die aus den abelschen Gruppen besteht. \quoteoff Genau das habe ich gemeint. \quoteon Dann gilt im ziemlich wörtlichen Sinne $\mathbf{Grp}_{\mathrm{ab}} = \mathbf{Ab}$ und $U=I$, wie du es ja schon gesagt hast. \quoteoff Genau das dachte ich anfangs, vor allem weil überall $\mathbf{Ab}$ so definiert wird als volle Unterkategorie von $\mathbf{Grp}$, sogar in deinem Buch. \quoteon Beziehungsweise die ganze Prämisse des Artikels ist ja, dass verschiedene Kategorien "disjunkt" sein sollen. \quoteoff Das ist ein schöner Punkt, den du ansprichst. Ich habe mich nämlich gestern gefragt, wann zwei Kategorien wirklich gleich sind. Nun alles zusammen: Was man bisher gemacht hat ist $\mathbf{Ab}$ als $\mathbf{Grp}_{\mathrm{ab}}$ zu definieren. Aber was wir wollen ist, dass $\mathbf{Ab}$ als eingenständige Kategorie dasteht und "disjunkt" von $\mathbf{Grp}_{\mathrm{ab}}$ ist, richtig? Ist mein Ansatz oben formal richtig mit dem hinzunehmen von einem Axiom und dem Feature? Die Erklärung mit Typen ergibt für mich schon viel mehr Sinn (zumindest intuitiv). \quoteon Das betrachte ich anders. Die Objekte bleiben in ihren Kategorien. Was du aber machst, ist für dein Objekt $A \in \mathcal{D}$ einen Vergissfunktor $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ zusammen mit einem Urbild $A' \in \mathcal{C}$ zu finden, was dann in der Regel praktisch ist, weil $A'$ mehr Struktur besitzt, womit man etwas anfangen kann. In dem von dir genannten Beispiel hat man sogar einen Span $\begin{tikzcd} & \mathbf{Alg}_K \ar[dr] \ar[dl] & \\ \mathbf{Ring} && \mathbf{Vect}_K \end{tikzcd}$ \quoteoff Ok ja, nehme ich an. Auch sehr schön dargestellt. Was ich sagen wollte ist, dass man nicht nur in eine Richtung (die des "Vergessens") gehen kann, sondern auch in die andere (die des "hinzunehmens"). Vielen Dank Triceratops!


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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-24

\quoteon(2021-03-24 13:34 - Red_ in Beitrag No. 4) Ist mein Ansatz oben formal richtig mit dem hinzunehmen von einem Axiom und dem Feature? \quoteoff Die Idee finde ich gut, aber ich erkenne darin keinen Formalismus. Insofern kann ich das nicht beurteilen.


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