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Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Irreduzible Darstellungen der symmetrischen Gruppe
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Universität/Hochschule Irreduzible Darstellungen der symmetrischen Gruppe
Quantenfreak
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  Themenstart: 2021-03-25

Hallo Matheplanet! Für die Beschreibung quantenmechanischer Systeme mit \(N\) identischen Teilchen spielt die symmetrische Gruppe \(S_N\) eine wichtige Rolle. Mir ist klar, was identisch bedeutet und wie man ausgehend von einer allgemeinen Wellenfunktion \(\psi(1,...,N)\) die in der Natur vorkommenden symmetrischen und antisymmetrischen Zustände konstruiert. Auch habe ich mich schon mit den Young-Diagrammen auseinandergesetzt. Jetzt zum eigentlichen Problem. In der Vorlesung wurden die irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe behandelt. Im Skript liest man dazu beispielsweise - Der Hilbertraum \(H\) kann in irreduzible Unterräume zerlegt werden - Zu jedem Young-Diagramm gibt es eine irreduzible Darstellung von \(H\) Was hat es mit den irreduziblen Darstellungen auf sich? Welcher Zusammenhang besteht mit den Vielteilchenwellenfunktionen?


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\) Hi, ich kann nichts zur Physik sagen, da ich mich darin nicht auskenne, aber ich kann ein paar Sätze zu irreduziblen Darstellungen schreiben. Irreduzibilität kommt eigentlich überall in der Mathematik vor: Man versucht ein Objekt in kleinere Objekte zu zerlegen und die kleinsten Objekte, die nicht weiter zerlegbar sind, heißen meist irreduzibel. Man könnte jetzt direkt an Primzahlen denken und tatsächlich sind Primzahlen auch genau die irreduziblen Elemente in $\mathbb{Z}$. Wir sind hier aber eher bei algebraischen Strukturen und eine Darstellung von $S_n$ ist ja bloß ein Vektorraum $V$ mit einer $S_n$-Wirkung. Wenn $V = V_1 \oplus V_2$ sich in zwei Darstellungen von $S_n$ zerlegen lässt, dann können wir $V_1$ und $V_2$ einzeln studieren anstatt komplett $V$ zu studieren. Irreduzible Darstellungen sind genau diejenigen, die sich nicht kleiner zerteilen lassen. Falls du lieber in linearen Abbildungen als in $k[S_n]$-Moduln denkst, dann bedeutet eine Zerlegung $V = V_1 \oplus V_2$, dass es einen Basiswechsel für die zur $S_n$-Wirkung zugehörigen linearen Abbildung gibt, sodass sie nachher eine Blockmatrix ist. Entsprechend ist es leichter, die Blöcke einzelnd zu studieren.\(\endgroup\)


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moep
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-25

Die mathematische Formulierung von "G (eine Gruppe) ist eine Symmetrie eines physikalischen Systems" ist, dass die Gruppe G auf dem Raum der Zustaende des Systems operiert. In der Quantenmechanik ist der Zustandsraum ein Vektorraum, und aus Wigners Theorem folgt letztendlich, dass dieser Vektorraum ein Darstellungsraum von G sein muss. Dass dieser dann in irreduzible Darstellungen zerfaellt, hat dir ja Kezer erklaert.


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