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Universität/Hochschule J Orthogonale Summe von Moduln
nzimme10
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  Themenstart: 2021-03-25

Hallo miteinander, Es seien $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und $(E_i,b_i)$ $R$-Moduln mit symmetrischer Bilinearform. In diesem Fall können wir die (äußere) orthogonale Summe $$ E:=\bigoplus_{i=1}^n E_i $$ mit der Bilinearform $$ b((e_1,\dots,e_n),(f_1,\dots,f_n)):=\sum_{i=1}^n b_i(e_i,f_i) $$ versehen. Weiter sei $$ b_E\colon E\to E^*, \ y\mapsto b(\cdot,y). $$ $E$ ist nicht ausgeartet, falls $b_E$ injektiv ist und $E$ ist regulär falls $b_E$ bijektiv ist. Jetzt würde ich gerne zeigen, dass $E$ genau dann regulär ist, falls alle $E_i$ es sind. Nun haben wir ja eine Isomorphie $E^*\cong \bigoplus_{i=1}^n E_i^*$ und da die Summe orthogonal ist gilt $b_{E_i}|_{E_j}=0$ für $i\neq j$. Für jeden Modul haben wir weiter den Homomorphismus $b_{E_i}\colon E_i\to E_i^*$. Um die Behauptung zu zeigen soll es wohl genügen (warum?), wenn man zeigt dass $$ b_E=\bigoplus_{i=1}^n b_{E_i}, $$ oder habe ich das nicht verstanden? Irgendwo glaube ich, dass ich etwas noch nicht ganz verstanden habe, weil das für mich noch nicht ganz Sinn ergibt. Über Hinweise und Aufklärung würde ich mich sehr freuen! Vielen Dank :)


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-25

Ja, das ist alles richtig so. Beachte, dass $b_E = \bigoplus_{i=1}^{n} b_{E_i}$ genauer gesagt meint, dass die Komposition von $b_E : E \to E^*$ mit dem Isomorphismus $E^* \cong \bigoplus_{i=1}^{n} E_i^*$ gleich $\bigoplus_{i=1}^{n} b_{E_i}$. Man kann auch $b_E \cong \bigoplus_{i=1}^{n} b_{E_i}$ schreiben. Aber für die Frage der Bijektivität spielt diese Komposition natürlich keine Rolle. Man verwendet hierbei die folgende allgemeine Notation: Seien $(M_i)_{i=1}^{n}$,$(N_i)_{i=1}^{n}$ zwei Folgen von $R$-Moduln und $f_i : M_i \to N_i$ jeweils eine $R$-lineare Abbildung. Dann erhält man eine $R$-lineare Abbildung $\bigoplus_{i=1}^{n} f_i : \bigoplus_{i=1}^{n} M_i \to \bigoplus_{i=1}^{n} N_i$ durch $(x_i)_{i=1}^{n} \mapsto (f_i(x_i))_{i=1}^{n}$. Nun kann man sich ganz leicht überlegen, dass $\bigoplus_{i=1}^{n} f_i$ genau dann bijektiv ist, wenn es jedes $f_i$ ist. Man könnte das auch so herleiten: Bemerke die Zusammenhänge $\ker(\bigoplus_{i=1}^{n} f_i) = \bigoplus_{i=1}^{n} \ker(f_i),$ $\mathrm{coker}(\bigoplus_{i=1}^{n} f_i) = \bigoplus_{i=1}^{n} \mathrm{coker}(f_i).$ Daher gilt $\phantom{\iff} \bigoplus_{i=1}^{n} f_i$ injektiv $\iff \ker(\bigoplus_{i=1}^{n} f_i)=0$ $\iff \bigoplus_{i=1}^{n} \ker(f_i) = 0$ $\iff \forall i (\ker(f_i)=0)$ $\iff \forall i (f_i \text{ injektiv});$ und völlig analog mit surjektiv über den Kokern. In deiner Situation mit den orthogonalen Komplementen ist daher $b_E \cong \bigoplus_{i=1}^{n} b_{E_i}$ genau dann bijektiv, wenn es alle $b_{E_i}$ sind. Also ist $(E,b)$ genau dann regulär, wenn es alle $(E_i,b_i)$ sind.


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nzimme10
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-25

\quoteon(2021-03-25 19:04 - Triceratops in Beitrag No. 1) In deiner Situation mit den orthogonalen Komplementen ist daher $b_E \cong \bigoplus_{i=1}^{n} b_{E_i}$ genau dann bijektiv, wenn es alle $b_{E_i}$ sind. Also ist $(E,b)$ genau dann regulär, wenn es alle $(E_i,b_i)$ sind. \quoteoff Erstmal herzlichen Dank für deine gute und ausführliche Antwort! Ich glaube genau an der Stelle hakt es bei mir noch etwas (vermutlich weil mir irgendwelche Definitionen nicht bekannt sind oder ich auf dem Schlauch stehe?). Ich habe jetzt verstanden warum $\bigoplus f_i$ genau dann injektiv (surjektiv) ist, wenn alle $f_i$ es sind. Was ich aber immer noch nicht ganz verstehe ist, warum dann auch die eigentliche Abbildung $b_E$ injektiv (surjektiv) ist, wenn ich weiß, dass $b_E \cong \bigoplus b_{E_i}$ gilt. Es ist ja wie du angemerkt hast keine "echte" Gleichheit von Abbildungen (Edit: Liegt das einfach an der Komposition?). An welcher Stelle geht eigentlich $b_{E_i}|_{E_j}=0$ für $i\neq j$ genau ein? Ich danke dir für deine Zeit!


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\) Hi, \quoteon(2021-03-25 19:23 - nzimme10 in Beitrag No. 2) Was ich aber immer noch nicht ganz verstehe ist, warum dann auch die eigentliche Abbildung $b_E$ injektiv (surjektiv) ist, wenn ich weiß, dass $b_E \cong \bigoplus b_{E_i}$ gilt. \quoteoff Ausgeschrieben (das hat Triceratops in Worten beschrieben) ist die Abbildung $\bigoplus_{i=1}^n b_{E_i}$ die Komposition $E \to E^* \to \bigoplus_{i=1}^n E_i^*$ und entsprechend erhält man $b$, wenn man noch die Umkehrabbildung von $E^* \to \bigoplus_{i=1}^n E_i^*$ nachschaltet. Da das ein Isomorphismus ist, ändert es nichts an der Surjektivität und Injektivität. \quoteon(2021-03-25 19:23 - nzimme10 in Beitrag No. 2) An welcher Stelle geht eigentlich $b_{E_i}|_{E_j}=0$ für $i\neq j$ genau ein? \quoteoff Das erlaubt direkte Summen mit dem Kokern zu vertauschen.\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-25

Vielen Dank euch beiden! Jetzt habe ich es (endlich) verstanden :)


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-25

@Kezer: Nein, die Orthogonalität braucht man für die Isomorphie $b_E \cong \bigoplus_i b_{E_i}$. Kokerne vertauschen immer mit direkten Summen.


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Kezer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-25

Sorry, mein Fehler, natürlich kommutieren Kokerne immer mit direkten Summen.


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nzimme10
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-25

\quoteon(2021-03-25 20:55 - Triceratops in Beitrag No. 5) [...] Orthogonalität braucht man für die Isomorphie $b_E \cong \bigoplus_i b_{E_i}$. \quoteoff An welcher Stelle genau? Man hat ja den Isomorphismus $$ \varphi \colon E^*\to \bigoplus_{i=1}^n E_i^*, \ \ \varphi(f):=\left(f|_{E_i}\right)_{i=1}^n $$ und damit doch $\bigoplus_i b_{E_i}=\varphi \circ b_{E}$? Irgendwo habe ich dann wohl doch noch einen Fehler im Denken.


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nzimme10
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-25

\quoteon(2021-03-25 21:46 - nzimme10 in Beitrag No. 7) Irgendwo habe ich dann wohl doch noch einen Fehler im Denken. \quoteoff Ich glaube ich habe es. Für $(e_i)_{i=1}^n\in E$ haben wir $$ (\varphi\circ b_E)(e_i)_{i=1}^n=\varphi\left( b_E(e_i)_{i=1}^n\right)=\left(b_{E_j}((e_i)_{i=1}^n)\right)_{j=1}^n. $$ Da $b_{E_j}|_{E_i}\neq 0$ nur für $j=i$ gilt, erhalten wir $$ \left(b_{E_j}((e_i)_{i=1}^n)\right)_{j=1}^n=\left(b_{E_j}(e_j)\right)_{j=1}^n=\left(\bigoplus_{j=1}^n b_{E_j}\right)(e_i)_{i=1}^n $$ also $\bigoplus_{j=1}^n b_{E_j}=\varphi\circ b_E$.


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