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Analysis » Maßtheorie » Eine Partition bzgl. Dirac-Maß gleich trivialer Partition?
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Universität/Hochschule J Eine Partition bzgl. Dirac-Maß gleich trivialer Partition?
math321
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  Themenstart: 2021-03-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\lv}{\left\lvert} \newcommand{\rv}{\right\rvert} \newcommand{\lV}{\left\lVert} \newcommand{\rV}{\right\rVert} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\) Guten Abend! Sei $(\Omega,A,\delta_x)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, wobei $x\in\Omega$ und $\delta_x$ das Dirac-Maß bezeichnet. Weiter sei $B=\{B_1,B_2,\ldots,B_k\}$ eine beliebige endliche, messbare Partition von $\Omega$, d.h. die $B_i$ sind disjunkt und ihre Vereinigung ergibt $\Omega$. Ich habe mich gefragt, ob in diesem Setup nicht gilt, dass die Partition $B$ bis auf Nullmengen mit der trivialen Partition $\{\Omega\}$ identisch ist. Zunächstmal gilt, dass es wegen der Disjunktheit der $B_i$ genau ein $B_j$ gibt mit $x\in B_j$ und dann gilt $\delta_x(B_j)=1$ und $\delta_x(B_i)=0$ für alle $i\neq j$. Daher gilt schonmal, dass $B=\{B_j\}$ bis auf Nullmengen. Nun ist ja aber $B_j$ eine echte Teilmenge von $\Omega$ und deswegen kann $\{B_j\}$ keine Partition von $\Omega$ sein. Folgt daraus nicht, dass $B$ bis auf Nullmengen mit $\{\Omega\}$ übereinstimmen muss? Ich bin mir wirklich nicht sicher... Schöne Grüße!\(\endgroup\)

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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-27

Hallo math321, die \(B_i\) sind Nullmengen für alle \(i \ne j\) und du schließt daraus, \(\{B_1,B_2,\ldots,B_k\}\) und \(\{B_j\}\) sind gleich bis auf Nullmengen. Dieser Zusatz "bis auf Nullmengen" muss dann auch mit in die Folgerung aufgenommen werden: \(\{B_j\}\) ist keine Partition von \(\Omega\), aber \(\{B_j\}\) ist bis auf Nullmengen eine Partition von \(\Omega\). Viele Grüße, Stefan

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