| Autor |
 isolierte Singularität |
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Aralian
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 |  Themenstart: 2021-03-29
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Ich beschäftige mich derzeit mit dem Thema er isolierten Singularitäten. Laut Definition ist eine Singularität einer Funktion dann isoliert, falls in einem Kreisring um die Singularität keine weitere Singularität vorhanden ist.
Die Funktion:
z/(z^2+4)^2
Hat bei:
z = +- 2i
je eine isolierte Singularität (Polstelle 2. Ordnung). Durch nachdenken kommt man ja darauf, dass sich in den Umgebungen dieser Singularitäten keine weiteren befinden und sie daher isoliert sind.
Meine Frage ist folgende:
Wie zeigt man so etwas mathematisch?
Die Funktion:
1/cos(1/z)
beispielsweise hat ja eine wesentliche Singularität bei z=0, diese ist jedoch nicht isoliert. Durch nachdenken kann ich mir das auch erklären, aber wie kann ich mathematisch zeigen, dass diese Singularität nun nicht isoliert ist?
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Sismet
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ba}{\begin{align*}}
\newcommand{\ea}{\end{align*}}
\newcommand{\be}{\begin{equation*}}
\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
Hey,
Ein Ansatz wäre eine Umgebung einfach direkt anzugeben. Also bei deinem ersten Bsp. $\mathbb{B}_2(2i)$ bzw. $\mathbb{B}_2(-2i)$.
Dann kann man sich auch überlegen, dass wenn du nur endlich viele Singularitäten hast, dass die alle isoliert sind.
Generell kannst du dir auch überlegen:
Eine Singularität ist genau dann isoliert, wenn sich nicht ein Häufungspunkt der Menge $\{z\in \IC|z \text{ ist Singularität von }f\}$ ist.
So kannst du dir auch überlegen, dass $0$ in deinem 2. Beispiel keine isolierte Singularität ist, denn $a_n=\frac{1}{(1/2+n)\pi}$ konvergiert gegen $0$ und $\frac{1}{\cos(1/z)}$ hat in $a_n$ eine Singularität. Also ist $0$ ein Häufungspunkt von der oben beschriebenen Menge und damit keine isolierte Singularität.
Grüße
Sismet\(\endgroup\)
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dietmar0609
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-29
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Hier stand etwas Falsches ...
Gruss Dietmar
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Sismet
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\ea}{\end{align*}}
\newcommand{\be}{\begin{equation*}}
\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
\quoteon(2021-03-29 13:28 - dietmar0609 in Beitrag No. 2)
Bei einer isolierten Singularität hat der Hauptteil der Laurententwicklung endlich viele Glieder.
Gruss Dietmar
\quoteoff
Das stimmt so nicht. Das wäre nur der fall, wenn die Singularität eine nicht wesentliche Singularität wäre.
$f(z)=e^{\frac{1}{z}}$ hat eine isolierte Singularität in $z=0$. Der Hauptteil der Laurentreihe ist jedoch nicht endlich.\(\endgroup\)
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dietmar0609
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-29
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Lies dir folgende Definitionen von Singularitäten mal durch, insbesondere Punkt 3.
Gruss Dietmar
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/18894_Singularit_t.png
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Sismet
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\ba}{\begin{align*}}
\newcommand{\ea}{\end{align*}}
\newcommand{\be}{\begin{equation*}}
\newcommand{\ee}{\end{equation*}}
\newcommand{\wo}{\backslash}
\)
In dieser Definition von Singularität werden eigentlich isolierte Singularität charakterisiert.
Es steht ja in dem einleitenden Text sinngemäß:
$f$ ist auf einer gelochten Kreisscheibe analytisch und das ist gerade die Definition von isolierter Singularität von Aralian.
Gruß Sismet\(\endgroup\)
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Aralian
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-29
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Kann man allgemein sagen, dass wesentliche Singularitäten nicht isoliert sind?
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-29
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Die Einteilung "hebbar - Pol - wesentlich" bezieht sich nur auf isolierte Singularitäten.
Andere Singularitäten werden erstmal nicht beguckt, weil man da sowieso keine einfachen Werkzeuge hat.
Viele Grüße
Wally
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dietmar0609
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-03-29
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Sämtliche Singularitäten aus meinem Beitrag 4 sind isoliert. Das steht auch im Vorspann des Beitrags. Das , was in meinem Beitrag 2 stand , war falsch.
Gruss Dietmar
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Aralian
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-29
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In dem von Dietmar gesendeten Artikel steht sowas wie:
jede Singularität, die nicht Pol oder hebbar ist, ist eine Wesentliche Singularität.
Demnach wäre die Singularität bei z = 0 von:
f(z)=1/cos(1/z)
eine wesentliche Singularität, die allerdings nicht isoliert ist, oder sehe ich da was falsch.
Wenn ich falsch liege:
Wie komme ich dann im allgemeinen darauf, dass ich eine wesentliche Singularität einer Funktion gefunden habe, insofern ich zeigen kann, dass sie nicht Polstelle und nicht hebbar ist? Ich muss dann ja noch zusätzlich zeigen, dass sie auch isoliert ist.
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Sismet
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-03-29
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\quoteon(2021-03-29 15:18 - Aralian in Beitrag No. 9)
In dem von Dietmar gesendeten Artikel steht sowas wie:
jede Singularität, die nicht Pol oder hebbar ist, ist eine Wesentliche Singularität.
Demnach wäre die Singularität bei z = 0 von:
f(z)=1/cos(1/z)
eine wesentliche Singularität, die allerdings nicht isoliert ist, oder sehe ich da was falsch.
\quoteoff
Wie Wally bereits erwähnt hat, ist der Begriff wesentliche Singularität nur für isolierte Singularitäten definiert. Also liegst du falsch.
Wenn du nachweisen willst, das eine Singularität eine wesentliche Singularität ist, dann musst du zeigen dass sie isoliert ist und nicht hebbar oder eine Polstelle. Hier kannst du dann auch mit dem Satz von Casorati-Weierstraß arbeiten
Grüße
Sismet
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