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Kein bestimmter Bereich Zahlentheorie
Magma93
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  Themenstart: 2021-04-02

Hallo, siehe hier: https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_2_1.png Bezieht sich die Zahlentheorie ausschließlich auf ganze Zahlen ? Oder behandelt sie auch reelle, komplexe, natürliche und gebrochene Zahlen?


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-02

Hallo Magma93, hm, das steht doch alles da: die klassische Zahlentheorie beschäftigt sich mit Eigenschaften von und Beziehungen zwischen ganzen Zahlen. Ein besonderes Augenmerk liegt dabei auf den Primzahlen. Die Anfänge dieses Fachgebiets liegen in der griechischen Antike. Die zwei prominentesten Beispiele aus dieser Zeit dürften die pythagoreischen Zahlentripel sowie die vollkommenen Zahlen sein. In der Weltanschauung der Pythagoräer spielten die ganzen Zahlen bzw. genauer: Verhältnisse zischen ganzen Zahlen (also die rationalen Zahlen) eine herausragende Rolle. Das könnte ein Anstoß zur Beschäftigung mit solchen Problemen gewesen sein. Zu den erwähnten (modernen) Teilgebieten gibt es doch Links auf der Wiki-Seite, wo du die Antworten auf deine Fragen findest. Gruß, Diophant


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-02

Die Zahlentheorie hat mit dem Studium von $\IZ$ angefangen. Es ging dann aber auch um andere Zahlenringe wie zum Beispiel den Ring der zyklotomischen Zahlen $\IZ[\zeta_n]$ oder den Ring der $p$-adischen Zahlen $\IZ_p$. Und ein wichtiges Hilfsmittel (zumal Körpertheorie einfacher als Ringtheorie ist) sind natürlich ihre Quotientenkörper, weswegen auch "gebrochene Zahlen" vorkommen. In der algebraischen Zahlentheorie abstrahiert man das noch weiter und studiert Dedekindringe (das sind $1$-dimensionale noethersche ganzabgeschlossene Integritätsringe) und ihre Erweiterungen. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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