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Analysis » Funktionalanalysis » Eigenschaft der Divergenz bestimmter L^1-Funktionen
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Universität/Hochschule Eigenschaft der Divergenz bestimmter L^1-Funktionen
tinolino
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb R}}    % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb C}}    % Komplexe Zahlen \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb N}}    % Nat"urliche Zahlen \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb Z}}    % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb Q}}   % Rationale Zahlen \newcommand{\Sub}{\subseteq} %Teilmenge \newcommand{\sub}{\subset} %echte Teilmenge \newcommand{\mt}{\mapsto} %Zuordnungspfeil \newcommand{\ra}{\rightarrow} % Pfeil nach rechts \newcommand{\Ra}{\Rightarrow} \newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow}\)
Liebe Leute,

folgende Aussage habe ich in einem Paper gefunden und würde sie gern beweisen:

Sei \(f: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d \) integrierbar mit \(\mathsf{div} f \in L^1(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}) \). Dann gilt
\[\int_{\mathbb{R}^d} \mathsf{div} f \ \text{d}x = 0. \]
Der Autor rät, zunächst für \(\mathcal{C}^\infty_c\)-Funktionen zu argumentieren und dann mittels Dichtheit auf den Zielraum zu schließen. Daher habe ich die Behauptung für $\varphi \in \mathcal{C}^\infty_c (\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)$ gezeigt, indem ich den Satz von Gauß angewendet habe.
Das Dichtheitsargument fällt mir aber schwer, denn wenn ich versuche, \( f \in L^1(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^d)\) zu approximieren, kann ich ja nicht automatisch auf die Konvergenz von \(\mathsf{div} f\) schließen, oder?

Ich bin dankbar für jeden Input, ich stehe gerade gehörig auf dem Schlauch... Vielleicht hat ja auch jemand noch einen anderen Ansatz? Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Liebe Grüße und natürlich schöne Ostertage!
\(\endgroup\)


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piquer
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Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 492
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-03


Hi tinolino,

du brauchst hier nicht nur die Dichtheit von $C_0^\infty(\IR^d, \IR^d)$ in $L^1(\IR^d, \IR^d)$, sondern in dem echten Teilraum
$$ W^{1,1}(\IR^d, \text{div}) = \{ u : L^1(\IR^d, \IR^d): \operatorname{div} u \in L^1(\IR^d) \},
$$ ausgestattet mit der Norm
$$ \| u \| = \| u \|_{L^1} + \| \operatorname{div} u \|_{L^1}.
$$ Das Resultat beweist man analog zur Dichheit von $C_0^\infty(\IR^d)$ im Sobolevraum $W^{1,1}(\IR^d)$.

Viele Grüße
Torsten


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionalanalysis' von piquer]



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tinolino
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.05.2019
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-03


Lieber Torsten,

vielen lieben Dank für die Antwort und das Verschieben! Dann versuche ich mich an einem Beweis dafür und melde mich bei Fragen noch einmal!

Viele Grüße 👍



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