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 Aufstellen Gleichungen Winkel Drehfeder |
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Spedex
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 1098
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2021-04-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\(}{\left(}
\newcommand{\)}{\right)}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\)
Hallo, folgende Aufgabenstellung:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52794_75_pic1.jpg
Dabei habe ich mal den "Hebel-Arm" freigeschnitten und komme dann auf folgende Skizze:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52794_5_pic1.jpeg
Es muss gelten:
\[\sum{M_A}=0:\quad F_D\cdot m+M_T-F_B\cdot p=0\]
Wobei:
\[F_D=c\cdot (l_0-l)=c\cdot \sin(\varphi_2)\cdot l_2\]
\[M_T=c_T\cdot (\varphi_1-\varphi_2)\]
\[p=\cos(\varphi_1)\cdot l_1\]
\[m=\cos(\varphi_2)\cdot l_2\]
Wenn man das alles einsetzt kommt man auf folgende Gleichung:
\[c\cdot \sin(\varphi_2)\cdot l_2\cdot \cos(\varphi_2)\cdot l_2+c_T\cdot (\varphi_1-\varphi_2)-F_B\cdot \cos(\varphi_1)\cdot l_1=0\]
Edit: Ein Teil dieser Gleichung ist falsch, siehe dazu den Beitrag Nummer 2.
Nun habe ich zwar eine Gleichung wo keine Unbekannten mehr vorkommen, außer \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\), welche ich aber wissen möchte.
Problem: Ich schaffe es nicht, auf eine der beiden Gesuchten umzustellen, sodass etwas wie folgt da steht:
\[\varphi_1=\dots\] oder \[\varphi_2=\dots\]
Daher meine Frage: Wie stellt man es richtig an?
Liebe Grüße
Spedex\(\endgroup\)
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10902
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\ID}{\mathbb{D}}
\newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo Spedex,
einmal ganz naiv gefragt: kann es sein, das du mit der Aufgabe längst fertig bist?
Die Aufgabenstellung oben lautet:
Gesucht
Bestimmungsgleichungen für die Drehwinkel \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\) der beiden Stäbe.
Von Lösen war also nicht die Rede...
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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Spedex
Wenig Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 1098
Wohnort: Wien
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname}
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\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\)
Hallo Diophant,
es könnte sein, dass ich mit der Aufgabe fertig bin, das also keine in der Form \(\varphi_1=\dots\) und \(\varphi_2=\dots\) gesucht ist, sicher bin ich mir da aber nicht. Eine Lösung für das Problem, dass man also sowas erhaltet wie \(\varphi_1=\dots\) und \(\varphi_2=\dots\) habe ich an sich noch nicht gefunden.
Was ich aber schonmal korrigieren möchte: Die Gleichung welche in im Startbeitrag aufgestellt habe ist falsch.
Ich spreche hier von dieser Gleichung:
\quoteon(2021-04-06 16:27 - Spedex im Themenstart)
\[c\cdot \sin(\varphi_2)\cdot l_2\cdot \cos(\varphi_2)\cdot l_2+c_T\cdot (\varphi_1-\varphi_2)-F_B\cdot \cos(\varphi_1)\cdot l_1=0\]
\quoteoff
Man schaue sich die beiden Balken einzeln an, schneidet sie also jeweils frei.
Man sieht auf der linken Seite, dass folgendes gelten muss:
\[\sum{M_A}=0:\quad F_D\cdot m-M_T=0\]
Man sieht auf der rechten Seite, also beim rechten Balken, dass folgendes gelten muss:
\[\sum{M_A}=0:\quad M_T-F_B\cdot p=0\]
Vergleicht man diese beiden Gleichungen, so sieht man, dass am linken Balken das Moment der Drehfeder \(M_T\) mit gleichem Betrag in die entgegengesetzt Richtung wirkt wie am rechten Balken. Heißt: Das Moment hebt sich auf:
Die resultierende Gleichung für das "gesamte" System ist also:
\[F_D\cdot m-F_B\cdot p=0\]
\[c\cdot \sin(\varphi_2)\cdot l_2\cdot \cos(\varphi_2)\cdot l_2-F_B\cdot \cos(\varphi_1)\cdot l_1=0\]
Das ändert nichts an der Tatsache, dass ich nicht in der Lage bin eine Lösung dazu zu finden, ich wollte es aber schonmal erwähnt haben.
Liebe Grüße
Spedex\(\endgroup\)
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10902
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-07
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Hallo Spedex,
ich habe momentan nicht die Zeit, mich mit dem Problem ausführlich zu befassen, d.h., was die Richtigkeit der Gleichungen angeht, kann ich an dieser Stelle nichts sagen.
Eins dürfte aber klar sein: in dem Moment, wo eine Drehfeder ins Spiel kommt, wird man in aller Regel das Problem haben, dass die Winkel innerhalb und außerhalb von trigonometrischen Funktionen auftreten (einfach weil das durch die Feder verursachte Moment zum Drehwinkel proportional angenommen wird). Und wenn mindetens ein Winkel unbekannt ist, dann gibt es keine analytische Möglichkeit, das aufzulösen.
(In der Praxis würde man das dann numerisch angehen.)
Gruß, Diophant
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rlk
Senior 
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11649
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-08
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Hallo Spedex,
für die zwei gesuchten Winkel $\varphi_1$ und $\varphi_2$ brauchst Du zwei Gleichungen. Deine Idee aus Beitrag 2, die beiden Balken getrennt zu betrachten ist gut, aber Du musst sie noch verfeinern.
Wie Diophant geschrieben hat, lassen sich solche Gleichungen im Allgemeinen nur numerisch lösen, aber das scheint ja nicht gefordert zu sein.
Servus,
Roland
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Spedex
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 1098
Wohnort: Wien
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\(}{\left(}
\newcommand{\)}{\right)}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\)
\quoteon(2021-04-08 00:32 - rlk in Beitrag No. 4)
Hallo Spedex,
für die zwei gesuchten Winkel $\varphi_1$ und $\varphi_2$ brauchst Du zwei Gleichungen. Deine Idee aus Beitrag 2, die beiden Balken getrennt zu betrachten ist gut, aber Du musst sie noch verfeinern.
Wie Diophant geschrieben hat, lassen sich solche Gleichungen im Allgemeinen nur numerisch lösen, aber das scheint ja nicht gefordert zu sein.
Servus,
Roland
\quoteoff
Hallo,
ich habe nachgefragt und weiß nun, dass nur die Gleichungen erforderlich sind, es muss keine Lösung der Art \(\varphi_1=\dots\) oder \(\varphi_2=\dots \) vorliegen. Wichtig ist aber, dass in diesen Gleichungen dann jeweils nur eine Unbekannte vorkommt, heißt, eine Gleichung in welcher \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\) zugleich vorkommt, wäre nicht in Ordnung.
Also habe ich das wie folgt betrachtet, für das Gesamtsystem gilt, wie ich es oben schon beschrieben habe, folgendes:
\[F_D\cdot m-F_B\cdot p=0\]
\[c\cdot \sin(\varphi_2)\cdot l_2\cdot \cos(\varphi_2)\cdot l_2-F_B\cdot \cos(\varphi_1)\cdot l_1=0\]
\[c\cdot {l_2}^2 \cdot \sin(\varphi_2)\cdot \cos(\varphi_2)-F_B\cdot \cos(\varphi_1)\cdot l_1=0\]
Hier kommt dann ins Spiel, dass \(\frac{1}{2}\cdot \sin(2x)=\sin(x)\cdot \cos(x)\) gilt.
Heißt:
\[c\cdot {l_2}^2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin(2\cdot \varphi_2)-F_B\cdot \cos(\varphi_1)\cdot l_1=0\]
Damit haben wir mal eine Gleichung mit zwei Unbekannten.
Jetzt suchen wir uns eine weitere Gleichung mit zwei Unbekannten, nämlich die Momentengleichung um den Punkt A des linken Stabes:
\[F_D\cdot m-M_T=0\]
\[c\cdot \sin(\varphi_2)\cdot l_2\cdot \cos(\varphi_2)\cdot l_2-c_T\cdot (\varphi_1-\varphi_2)=0\]
\[c\cdot {l_2}^2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin(2\cdot \varphi_2)-c_T\cdot (\varphi_1-\varphi_2)=0\]
Wir können nun die erste Gleichung mit der zweiten Gleichung gleich setzten, denn beide ergeben ja \(0\).
Macht man dies, so erhaltet man:
\[F_B\cdot \cos(\varphi_1)\cdot l_1=c_T\cdot \varphi_1-c_T\cdot \varphi_2\]
\[\varphi_2=\varphi_1-F_B\cdot \cos(\varphi_1)\cdot l_1\cdot \frac{1}{c_T}\]
Das kann ich jetzt wieder in die erste Gleichung einsetzten, erhalte dabei also:
\[c\cdot {l_2}^2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin\left(2\cdot \varphi_1-2\cdot F_B\cdot \cos(\varphi_1)\cdot l_1\cdot \frac{1}{c_T}\right)-F_B\cdot \cos(\varphi_1)\cdot l_1=0\]
Hier haben wir also unsere erste Gleichung mit nur einer einzigen Unbekannten, nämlich \(\varphi_1\).
Wir könnten nun also zweite lösende Gleichung entweder folgendes heranziehen:
\[\varphi_2=\varphi_1-F_B\cdot \cos(\varphi_1)\cdot l_1\cdot \frac{1}{c_T}\]
Oder wir machen das ganze Spiel nochmal mit der rechten Seite, stellen dort wieder eine Momentengleichung auf, diese hat dann wieder zwei Unbekannte, wir setzen diese Gleichung dann mit der ersten Gleichung dieses Beitrags gleich, formen auf \(\varphi_2\) um, setzten dass dann in die erste Gleichung diese Beitrags ein und erhalten also eine Gleichung wieder mit nur einer Unbekannten.
Könnt ihr diese Vorgehensweise bestätigten? Ich hoffe es zumindest, das war nämlich viel Schreibarbeit :).
Ich entschuldige mich jetzt schon einmal für Rechtschreibfehler, diese können leider auch in Formeln auftreten...
Liebe Grüße
Spedex
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