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  Cauchy's Integralsatz: Verschiedene Versionen |
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2206
Wohnort: Köln
 |  Themenstart: 2021-04-06
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Hallo miteinander,
Ich habe den Integralsatz von Cauchy ursprünglich in folgender Version kennengelernt:
Es sei $G\subseteq \mathbb C$ ein Gebiet, $f\colon G\to \mathbb C$ holomorph und $K\subseteq G$ ein Kompaktum mit (stückweise) glattem Rand. Dann ist
$$
\int_{\partial K} f(z) \ \mathrm{d}z=0.
$$
Auf Wikipedia findet man (unter anderem) die folgende Version:
Es sei $G\subseteq \mathbb C$ ein Gebiet, $f\colon G\to \mathbb C$ holomorph und $\Gamma$ ein nullhomologer Zyklus in $G$. Dann ist
$$
\int_{\Gamma} f(z) \ \mathrm{d}z=0.
$$
Ich frage mich ob beide Aussagen äquivalent zueinander sind. Die Randkurve $\partial K$ von $K$ ist sicher ein nullhomologer Zyklus in $G$. Umgekehrt frage ich mich, ob jeder nullhomologe Zyklus in $G$ auch als Randkurve eines Kompaktums mit glattem Rand in $G$ auftritt? Hilft hier eventuell der Jordan'sche Kurvensatz? Oder ist die Aussage einfach nicht korrekt?
Vielen Dank für eure Antworten! :)
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Ehemaliges_Mitglied
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-07
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Hallo nzimme10,
ich denke es soll sich um strikte Verallgemeinerung handeln (ich nehme die offenbare Definition für Randkurven), denn ein nullhomologer Zyklus kann aus mehreren disjunkten geschlossen Kurven bestehen. Schau mal Abschnitt 3.1 vom Skript http://www.mi.uni-koeln.de/geometrische_analysis/FKT_THEO/Vorles_fkt.pdf
oder Fischer-Liebs "Einführung in die Komplexe Analysis", Kap. 4.1.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07
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\quoteon(2021-04-07 14:42 - Saki17 in Beitrag No. 1)
[...] denn ein nullhomologer Zyklus kann aus mehreren disjunkten geschlossen Kurven bestehen. [...]
\quoteoff
Hallo Saki17,
Danke für deine Antwort. Ich verstehe deine Aussage aber nicht ganz. Sei $G=\mathbb C$ und $\tilde{K}:=\overline{B_1(0)}\subseteq G$. Sei weiter $K:=\tilde{K}\setminus B_{1/2}(0)\subseteq G$. Dann ist $K$ Kompaktum mit glattem Rand, und mit $\gamma_1(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ sowie $\gamma_2(t)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ haben wir als Kette
$$
\partial K=\gamma_1-\gamma_2.
$$
$\partial K$ besteht hier also doch auch aus disjunkten geschlossenen Kurven. Könntest du deine Bemerkung nochmal etwas erläutern?
Vielen Dank,
Nico
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-07
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\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec}
\newcommand{\O}{\mathcal{O}}
\newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Hallo Nico,
tut mir leid, ich war einfach zu naiv (mit der Definition der Randkurven), und der Literaturhinweis ist irrelevant zu deiner Frage.
Eine halbwegs Antwort: Man kann nullhomologe Zyklen mit den 1-Rändern der singulären Homologiegruppen identifizieren, s. Prop. 8.16 vom Skript (https://www.maths.tcd.ie/~zaitsev/3423-2017/wedhorn-Complex%20Analysis.pdf). Jetzt könnte deine Frage eben in diesen topologischen Kontext übersetzt werden... (Ich bin nicht sicher, wo "Randkurven" einzuorden sind. Wenn sie das Bild gewisses 2-Simplex $K$ im Gebiet $G$ unter dem Randoperator ist, dann sind wir fertig.)\(\endgroup\)
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2206
Wohnort: Köln
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07
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Hallo Saki17,
Danke für deine Mühe! Dann werde ich wohl weiter sehen müssen, ob ich das zeigen kann.
Liebe Grüße,
Nico
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1855
 | Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
Hi nzimme10,
im Sinne von Saki17s erster Antwort: Wie erhälst du Zyklen mit Windungszahlen $\neq 0,1$ als Randzyklen? Beispielsweise den Zyklus $\Gamma = 2\gamma_1 - \gamma_2 - \gamma_3$ für Kreise $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$.
Man kann die nullhomologen Zyklen $\Gamma$ in einer nicht-leeren offenen Menge $U \subseteq \mathbb{C}$ so charakterisieren: Äquivalent ist
(i) $\Gamma$ is nullhomolog in U,
(ii) Für alle holomorphen $f :U \to \mathbb{C}$ gilt $\int_{\Gamma} \, \mathrm{d} z = 0$,
(iii) Für alle holomorphen $f: U \to \mathbb{C}$ gilt $\operatorname{ind}_{\Gamma}(z) f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} \, \mathrm{d} z$ für $z \in U \setminus \Gamma$.
Das Funktionentheorie Buch von Folkmar Bornemann behandelt die Integraltheorie schön mit Zyklen. Im Buch von Freitag gibt es auch nette Passagen dazu.\(\endgroup\)
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2206
Wohnort: Köln
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07
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Ach super danke dir! Das ergibt natürlich sofort Sinn! Wenn man aber die Frage auf Zyklen mit Windungszahl $1$ beschränken würde, würde es dann so sein, wie ich vermutet habe? Also:
Sei $\Gamma$ ein nullhomologer Zyklus in $G$ mit Windungszahl $1$. Gibt es ein Kompaktum mit (stückweise) glattem Rand $K\subseteq G$ derart, dass $\partial K=\Gamma$?
Für mich sieht das auf den ersten Blick nach dem Jordan'schen Kurvensatz aus. Man müsste also zeigen, dass es einen Homöomorphismus $S^1\to \Gamma$ gibt, oder? Zumindest falls $\Gamma$ nur aus einem Weg besteht.
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1855
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
Ja, solche Zyklen $\Gamma$ heißen einfach und sind genau die Randzyklen vom Kompaktum $K = \mathbb{C} \setminus \operatorname{Ext}{\Gamma} = \operatorname{Int}{\Gamma} \cup [\Gamma]$.
Siehe auch Bornemann, S. 74.\(\endgroup\)
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2206
Wohnort: Köln
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-07
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Vielen Dank Kezer, das hilft mir sehr weiter. Auch Danke nochmal an dich Saki17.
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nzimme10 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
nzimme10 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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