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Mathematische Software & Apps » Matlab » Simulation von Pseudozufallszahlen gemäß gegebener 2D-Dichtefunktion
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Kein bestimmter Bereich Simulation von Pseudozufallszahlen gemäß gegebener 2D-Dichtefunktion
Dirk_Broemme
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Dabei seit: 04.06.2003
Mitteilungen: 498
Wohnort: Lübeck
  Themenstart: 2021-04-09

Hallo zusammen, ich habe gegeben eine 2-dim- Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: f(x,y)=n*Exp[-0,5*((x/a)^2+(y/b)^2 )^k] mit n: reeller Normierungsfaktor a,b,k: reelle Konstanten Ich suche eine Möglichkeit (außer Rejection sampling) Zufallszahlen nach dieser Dichtefunktion in Matlab zu simulieren. Viele Grüße Dirk

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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
piquer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-10

Hallo Dirk, um eine ZV $(X_1, X_2)$ gemäß deiner Dichte zu erhalten, kannst du zuerst gleichverteilte Werte auf der Ellipse mit Halbachsen $a$ und $b$ generieren, $$ \big( a \cos(2 \pi U_1), b \sin(2 \pi U_2) \big), $$ für $U_1, U_2$ unabhängig und gleichverteilt auf $(0, 1)$. Diese multiplizierst du dann mit einer ZV $R$, $$ X_1 = a R \cos(2 \pi U_1), \quad X_2 = b R \sin(2 \pi U_2), $$ wobei wir $R$ aus der Verteilung mit Dichte $$ f_R(r) = \frac{2^{1-1/k}}{\Gamma(1+1/k)} r \exp(-1/2 r^{2k}), \quad r > 0 $$ gewinnen. Hierbei bezeichnet $\Gamma(\cdot)$ die Gamma-Funktion. Die Verteilungsfunktion lautet $$ F_R(r) = 1 - \frac{\Gamma(1/k, r^{2k}/2)}{\Gamma(1/k)}, \quad r > 0, $$ wobei $\Gamma(\cdot, \cdot)$ die unvollständige Gamma-Funktion ist. Wir erhalten eine $F_R$-verteilte ZV mittels $$ R = F^{-1}(U_3) $$ mit einer auf $(0,1)$-gleichverteilten, von $(U_1, U_2)$ unabhängigen, ZV $U_3$. Die Gleichung $$ U_3 = F(R) $$ lässt sich etwa mit dem Newton-Verfahren lösen. Ein geeigneter Startpunkt ist die Wendestelle von $F_R$. Sie liegt bei $$ \left( \frac{1}{k} \right)^{1/(2k)}. $$ Viele Grüße Torsten

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