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Analysis » Folgen und Reihen » Grenzwert einer Reihe bestimmen
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Universität/Hochschule J Grenzwert einer Reihe bestimmen
arhzz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-10


Hallo!

Ich soll den Grenzwert dieser Reihe bestimmen.Wo n gegen unendlich geht

\( \sum_{k=1}^{\infty} (\sqrt{1+k} - \sqrt{k}) \)

Also zuerst habe ich die Reihe aufgespaltet.

\(\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{1+k} - \sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{k}\)

Und jetzt bin ich mir nicht sicher wie ich weiter machen soll.Ich konnte die wurzel wegbringen (ins 1/2) umwandeln aber das hat mir auch nicht viel gebracht.Ich weiss nicht ob man hier,wie bei Folgen das unendlich "einsetzen" kann um zu sehen was passiert. Wenn ich hier unendlich einsetze bekomme ich das die reihe divergiert aber das is mehr raten als eigentlich rechnen.Was wäre ein guter einsatz?

Danke!



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-10


Hallo,

bist du dir sicher, dass hier nach einem Grenzwert gefragt ist und nicht etwa, ob die Reihe überhaupt konvergiert, also ob sie überhaupt einen Grenzwert besitzt?

Das Aufspalten war keine gute Idee. Forme den Summanden einmal so um, dass du ihn zu einem Bruch erweiterst, so dass im Zähler ein 3. Binom entseht.

Und dann denke einmal über das Minorantenkriterium für Divergenz nach...

EDIT:
Mit dem Hinweis aus dem folgenden Beitrag kommt man noch einfacher ans Ziel (falls dir das Konzept bekannt ist).


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-10


Hallo,

du darfst die Reihe nicht so aufspalten, da du dann die Differenz zweier divergenter Reihen erhältst, wie du selbst bemerkt hast.

Das Stichwort lautet: Teleskopreihe.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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arhzz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-10


Ok also,jetzt ist es mir klar das ich hier beweisen muss das die Reihe divergiert.In der aufgabe genau so "Berechnen sie den Grenzwert folgenden Reihen wo n gegen unendlich geht". Also mit der Teleskopreihe bin ich schon bekannt aber ich sehe es nicht hier,also ist umformen notwendig.Allerdings habe ich grad im skriptum eine andere methode gesehen namlich "Wurzelkriterium".Also vielleicht hat der name nix mit der methode zu tun aber wurde das hier nicht besser geeignet?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

ich sehe nicht so ganz, inwiefern hier das Wurzelkriterium auf eine einfachere Rechnung führen soll.

Wie gesagt: am direktesten geht es, wen du einmal die allgemeine Partialsumme (also etwa bis \(n\) aufsummiert) als Teleskopsumme auffasst, enstprechend vereinfachst und dann \(n\to\infty\) gehen lässt.

Oder du findest für das allgemeine Summenglied

\[\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\frac{\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\cdot\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\]
eine divergente Minorante (was auch sehr einfach geht: einfach geschickt den Nenner vergrößern...).


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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arhzz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-10


Okay ich wollte kein blodsinn schreiben also habe ich mir etwas zeit genommen um ein paar dinge durchzulesen.Also der Minorantenkriterium sagt divergiert |ak| so divergiert auch |bk|.Also nehmen wir meine Reihe an.Wenn wir ein gefuhl haben das die folge divergiert muss ich ein kleineres beispiel finden das divergiert,somit wird auch meine Reihe divergent.Habe ich das kriterium richtig verstanden?

Und jetzt nach der bruch erweiterung von meiner Reihe haben wir eine Minoraten.Wenn ich jetzt beweise das diese minorante divergent ist dann habe ich auch bewiesen das meine Reihe divergent ist.

Darf ich jetzt diese minorante so umformen so das ich es zu einer bekannte reihe habe (Harmonische,Geometrische...) wo ich genau weis wenn sie divergiert/konvergiert und somit meine antwort habe.

Oder muss ich jetzt hier limes fur n gegen unedlich anwenden,aber ich sehe nicht wie das weiter helfen wurde da uberall k's stehen und nicht n.




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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-10


Hallo

Ich würde hier die harmonische Reihe benutzen.

Gruß Caban



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arhzz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-10


Genau das habe ich mir auch gedacht (wenn du auf die minorate denkst)

Die wurzeln kann man ja so umformen

\(\frac{1}{(k+1)^{1/2} + k^{1/2}}\) Und bei der harmonischen reihe wenn S
(also der exponent) kleiner als 1 ist dann wird die reihe divergieren.Dammit hat man es bewiesen?





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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-10


Ich habe nicht alle Beiträge gelesen. Aber schreib doch mal einfach die Summe aus bis zum $n$-ten Glied (Definition von unendlichen Reihen etc.)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-10


@Caban:
2021-04-10 20:01 - Caban in Beitrag No. 6 schreibt:
Ich würde hier die harmonische Reihe benutzen.

Das könnte man natürlich tun, müsste es u.U. aber noch beweisen.

Im Sinne eines gewissen Ockham wäre ein Wurzelterm im Nenner m.M. vorzuziehen.


Gruß, Diophant



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Was erhält man, wenn man statt bis \( k=\infty\) bis \( k=3\), \( k=4\) oder \( k=5\) summiert?

(Um Nuramons Beitrag #2 etwas deutlicher zu machen).

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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arhzz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11


Soll ich ja die k = 3, k = 4 von der ursprungliche summe oder der minorante summe aufsumieren?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2021-04-11


Von der ursprünglichen Reihe.



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arhzz
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Okay also bei k = 3

\((\sqrt{1+1} -\sqrt{1}) + (\sqrt{2+1} -\sqrt{2}) +(\sqrt{3+1} - \sqrt{2}) \)

\(\sqrt{2} -\sqrt{1} +\sqrt{3} -\sqrt{2}\)

Was ubrig bleibt ist -1 und die wurzel von k+1. Und wie soll ich jetzt die konvergenz/divergenz bestimmen.




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2021-04-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

k gegen unendlich gehen lassen. Wurde jetzt schon von verschiedenen Mitgliedern teilweise mehrfach geraten...

Um zu sehen, was wirklich passiert, wären ein paar mehr Reihenglieder besser gewesen. Wally hat in #10 bspw. nicht umsonst geraten, bis \(k=5\) zu summieren...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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arhzz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11


Ja,da sollte ich einfach die Posts durchlesen.Allerdings bekomme ich bei k gegen unendlich \(\infty\) als grenzwert.Das sollte bedeuten das die Reihe divergiert.



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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo,

2021-04-11 16:19 - arhzz in Beitrag No. 15 schreibt:
Ja,da sollte ich einfach die Posts durchlesen.Allerdings bekomme ich bei k gegen unendlich \(\infty\) als grenzwert.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Genau. Allerdings: \(\infty\) bezeichnet man (zumindest im Deutschen) nicht als Grenzwert, wenn überhaupt, dann als uneigentlichen Grenzwert.

2021-04-11 16:19 - arhzz in Beitrag No. 15 schreibt:
Das sollte bedeuten das die Reihe divergiert.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)

Ja, und genau das tut sie ja auch. 🙂


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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arhzz
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Okay,uneigentlicher grenzwert.Glucklicher weise ist mein Professor in mathe nicht so streng mit solchen dingen.Allerdings danke ihn allen fur eure hilfe.





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