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Universität/Hochschule J Zahlungsanspruch mit konvexer Funktion
Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-04-10


Einen wunderschönen guten Tag!
Es sei $\Omega$ eine endliche Menge, die mindestens zwei Elemente enthält. Angenommen $\mathbb{P}(\{\omega\})>0$ für jedes $\omega \in \Omega .$ Betrachten Sie das Marktmodell $\left(1, \pi^{1}\right),\left(1+r, S^{1}\right)$. Definiere
$$ a:=\min _{\omega \in \Omega} S^{1}(\omega) \quad \text { und } \quad b:=\max _{\omega \in \Omega} S^{1}(\omega)
$$ Angenommen $a<\pi^{1}(1+r)<b$. Betrachten Sie einen Zahlungsanspruch $C=$ $g\left(S^{1}\right)$ mit einer konvexen Funktion $g, g \geq 0$. Zeigen Sie:
$$ \pi_{\text {sup }}(C)=\frac{g(b)}{1+r} \frac{(1+r) \pi^{1}-a}{b-a}+\frac{g(a)}{1+r} \frac{b-(1+r) \pi^{1}}{b-a} .
$$ Die eine Richtung habe ich so gelöst:
$"\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{C}{1+r}\right]\le\frac{g(b)}{1+r} \frac{(1+r) \pi^{1}-a}{b-a}+\frac{g(a)}{1+r} \frac{b-(1+r) \pi^{1}}{b-a}"$:
$$ \mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{C}{1+r}\right]=
\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{g(S^1\frac{b-a}{b-a})}{1+r}\right]=
\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{g(\frac{S^1b-ba-S^1a+ba}{b-a})}{1+r}\right]=
\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{g(\frac{b(S^1-a)+a(b-S^1))}{b-a})}{1+r}\right]\\\le
\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{g(b)\frac{b(S^1-a)}{b-a}+g(a)\frac{(b-S^1)}{b-a}}{1+r}\right]=\frac{g(b)}{1+r}\frac{\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}(S^1)-a}{b-a}+
\frac{g(a)}{1+r}\frac{b-\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}(S^1)}{b-a}\\
=\frac{g(b)}{1+r} \frac{(1+r) \pi^{1}-a}{b-a}+\frac{g(a)}{1+r} \frac{b-(1+r) \pi^{1}}{b-a}
$$ Bei der anderen Richtung habe ich jedoch Schwierigkeiten, würde mich über jeden Hinweis freuen.
Lg Axerstein



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-11


Hallo Axerstein,
die eine Richtung

2021-04-10 21:04 - Axerstein im Themenstart schreibt:
Die eine Richtung habe ich so gelöst:
$"\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{C}{1+r}\right]\le\frac{g(b)}{1+r} \frac{(1+r) \pi^{1}-a}{b-a}+\frac{g(a)}{1+r} \frac{b-(1+r) \pi^{1}}{b-a}"$:

lässt sich nicht weiter bis Gleichheit verbessern. Deshalb, wie ist \(\displaystyle\pi_{\text {sup }}\) definiert, speziell über welche Menge wird das Supremum gebildet? Wenn das alle konvexen Funktionen durch die Punkte \((a,g(a))\) und \((b,g(b))\) sind, braucht man nur die Gerade durch die beiden Punkte als Funktion \(g\) verwenden, dann gilt für diese eine Funktion Gleichheit und für das Supremum deshalb auch.

Viele Grüẞe,
  Stefan



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Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11


In der Vorlesung haben wir $\pi_{\sup}$ definiert als
$$\pi_{\sup}(C)=\sup \Pi(C)$$ wobei $\Pi(C)$ die Menge der arbitrage-freien Preise ist. Weiters haben wir noch den Superhedging-Satz gezeigt:
$$\text{no-arbitrage}\Longrightarrow \pi_{\sup}(C)=\sup\limits_{\mathbb{P}^*\in\mathcal{P}}\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{C}{1+r}\right]=\min\{m\in[0,\infty]|\exists\xi\in\mathbb{R}^d:m+\xi Y\ge\frac{C}{1+r}\}$$ In einem früheren Übungsbeispiel habe ich gezeigt, dass $a<\pi(1+r)<b$ äquivalent ist zu einem arbitrage freien Markt, also gilt no-arbitrage mit der Voraussetzung.
Das Supremum wird über die Menge der arbitrage-freien Preise von C gebildet bzw $\mathbb{P}^*\in\mathcal{P}$, sodass $\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{C}{1+r}\right]$ das Supremum ist.
Was wir noch in der Vorlesung gezeigt haben ist, dass
$$\Pi(C)=\{\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{C}{1+r}\right]|\mathbb{P}^*\in\mathcal{P},\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}[C]<\infty\}$$ eine konvexe Menge ist, kann ich daraus folgern, dass $\Pi(C)$ die Menge aller konvexen Funktionen durch die Punkte $(a,g(a))$ und $(b,g(b))$ ist?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-11


Wie ist in dem Superhedging-Satz das \(Y\) definiert? Irgendwie muss das noch von der Funktion \(g\) abhängig sein, denn wenn man in der Behauptung

\[\pi_{\text {sup }}(C)=\frac{g(b)}{1+r} \frac{(1+r) \pi^{1}-a}{b-a}+\frac{g(a)}{1+r} \frac{b-(1+r) \pi^{1}}{b-a}\]
auf der rechten Seite eine beliebige konvexe Funktion \(g \ge 0\) einsetzen darf, kann sich die rechte Seite beliebig verändern, zum Beispiel einmal \(g(x)=x^2+2\) und einmal \(g(x)=x^4+4\) einsetzen. Auf der linken Seite \(\pi_{\text {sup }}(C)\) steht aber eine unveränderliche Zahl, solange keine Abhängigkeit von \(g\) besteht.



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Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11


Das $Y$ ist definiert als die diskontierte Preisänderung
$$Y=\frac{S}{1+r}-\pi$$ Wie das mit g zusammenhängt weiß ich nicht, der einzige Zusammenhang den ich erkenne ist $C=g(S^1)$🤔



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-11


Stimmt, und das stand auch schon im Startbeitrag, und ich habe es nicht beachtet. Dann vermute ich mal, in der Gleichung \(\displaystyle m+\xi Y\ge\frac{C}{1+r}\) steckt der erhoffte Zusammenhang drin, dass \(C=g(S^1)\) durch eine "kleinstmögliche" lineare Funktion abgeschätzt wird und wenn man diese lineare Funktion als \(g\) verwendet, erhält man das Gleichheitszeichen \(\pi_{\text {sup }}(C) = \mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{C}{1+r}\right]\). Ist nur eine Vermutung zum Weiterüberlegen, ob das zusammenpasst.



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Axerstein
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-11


Ich glaub jetzt hab ich die Lösung. In der Vorlesung haben wir bewiesen, dass beim Superhedging-Satz $\mathcal{P}$ (also die Menge der äquivalenten Martingalmaße) durch
$$\mathcal{P}_{\text{ac}}:=\{\mathbb{Q}\ll\mathbb{P}|\pi=\mathbb{E}_{\mathbb{P}}\left[\frac{S}{1+r}\right],i=0,...,d\}$$ ersetzt werden kann, also gilt $\pi_{\sup}(C)=\sup\limits_{\mathbb{Q}\in\mathbb{P}_{\text{ac}}}\mathbb{E}_\mathbb{Q}\left[\frac{C}{1+r}\right]$
Also kann ich mir $\mathbb{P}^*$ definieren als
$$\mathbb{P}^*=\begin{cases}
  \frac{(1+r) \pi^{1}-a}{b-a} & \omega=\omega_b\\
  \frac{b-(1+r) \pi^{1}}{b-a} & \omega=\omega_a\\
  0 & \text{sonst}
\end{cases} $$ Damit ist $\mathbb{P}^*\ll\mathbb{P}, \mathbb{P}\in\mathcal{P}$ und es gilt
$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{S^1}{1+r}\right]=\frac{a}{1+r}\mathbb{P}^*(S^1=b)+\frac{b}{1+r}\mathbb{P}^*(S^1=a)=\frac{a}{1+r}\frac{b-(1+r) \pi^{1}}{b-a}+\frac{b}{1+r}\frac{(1+r) \pi^{1}-a}{b-a}=\frac{b(1+r)\pi^1-a(1+r)\pi^1}{(1+r)(b-1)}=\pi^1$$ Damit sind alle Voraussetzungen erfüllt und es gilt:
$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{C}{1+r}\right]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{g(S^1)}{1+r}\right]=\frac{g(a)}{1+r}\mathbb{P}^*(S=b)+\frac{g(b)}{1+r}\mathbb{P}^*(S=a)=\frac{g(b)}{1+r} \frac{(1+r) \pi^{1}-a}{b-a}+\frac{g(a)}{1+r} \frac{b-(1+r) \pi^{1}}{b-a}$$ Ist das so richtig? Brauch ich da dann noch die ersten Ungleichung, die ich gezeigt habe oder ist das ausreichend?



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-11


Es ist richtig, irgendein \(\mathbb{P}^* \in \mathcal{P}\) zu finden, für das \(\displaystyle\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left[\frac{C}{1+r}\right]=\frac{g(b)}{1+r} \frac{(1+r) \pi^{1}-a}{b-a}+\frac{g(a)}{1+r} \frac{b-(1+r) \pi^{1}}{b-a}\) gilt. Die Ungleichung für die anderen \(\mathbb{P} \in \mathcal{P}\) wird auch gebraucht, erst dann ist nachgewiesen, dass für \(\mathbb{P}^*\) tatsächlich das Supremum erreicht wird und kein größerer Wert möglich ist.



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Passt, vielen Dank!



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Axerstein hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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